Bài 2.30 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình mũ sau:

a) \({(0,75)^{2x - 3}} = {(1\frac{1}{3})^{5 - x}}\)                                                                     

b) \({5^{{x^2} - 5x - 6}} = 1\)

c) \({(\frac{1}{7})^{{x^2} - 2x - 3}} = {7^{x + 1}}\)                                                                          

d) \({32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,{25.125^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \({(\frac{3}{4})^{2x - 3}} = {(\frac{4}{3})^{5 - x}}\)

\( \Leftrightarrow {(\frac{3}{4})^{2x - 3}} = {(\frac{3}{4})^{x - 5}}\)

\(\Leftrightarrow 2x - 3 = x - 5 \Leftrightarrow x =  - 2\)

b)

\(\begin{array}{l}
{5^{{x^2} - 5x - 6}} = {5^0} \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 6
\end{array} \right.
\end{array}\)

c) 

\(\begin{array}{l}
{(\frac{1}{7})^{{x^2} - 2x - 3}} = {(\frac{1}{7})^{ - x - 1}} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = - x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

d) \({2^{5.\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = {2^{ - 2}}{.5^{3.\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}} <  =  > {2^{\frac{{5x + 25}}{{x - 7}} + 2}} = {5^{\frac{{3x + 51}}{{x - 3}}}} <  =  > {2^{\frac{{7x + 11}}{{x - 7}}}} = {5^{\frac{{3x + 51}}{{x - 3}}}}\)

Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế, ta được:

\(\frac{{7x + 11}}{{x - 7}} = \frac{{3x + 51}}{{x - 3}}{\log _2}5 < = > \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{7{x^2} - 10x - 33 = (3{x^2} + 30x - 357){{\log }_2}5}\\
{x \ne 7,x \ne 3}
\end{array}} \right.\)

\( <  =  > (7 - 3{\log _2}5){x^2} - 2(5 + 15{\log _2}5) - (33 - 357{\log _2}5) = 0\)         

Ta có: \(\Delta ' = {(5 + 15{\log _2}5)^2} + (7 - 3{\log _2}5)(33 - 357{\log _2}5)\)

\( = 1296\log _2^25 - 2448{\log _2}5 + 256 > 0\)               

Phương trình đã cho có hai nghiệm: \(x = \frac{{5 + 15{{\log }_2}5 \pm \sqrt {\Delta '} }}{{7 - 3{{\log }_2}5}}\)  , đều thỏa mãn điều kiện