Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong tam giác BCD.
a) Dựng đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng (ACD) tại B’.
Chứng minh rằng AB’, BM và CD đồng quy tại một điểm.
b) Chứng minh \({{MB'} \over {BA}} = {{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}}\)
c) Đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ACB) và (ACD) kẻ từ M cắt (ABD) tại C’ và đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ADC) và (ADB) kẻ từ M cắt (ABC) tại D’. Chứng minh rằng
\({{MB'} \over {BA}} + {{MC'} \over {CA}} + {{M{\rm{D}}'} \over {DA}} = 1\)
Giải:
a) MB’ qua M và song song với (ABC) và \(\left( {ABD} \right) \Rightarrow MB'\) song song với giao tuyến AB của hai mặt phẳng này. Ta có: \(MB'\parallel AB\) nên MB’ và AB xác định một mặt phẳng. Giả sử MB cắt AB’ tại I.
Ta có: \(I \in BM \Rightarrow I \in \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)
\(I \in AB' \Rightarrow I \in \left( {AC{\rm{D}}} \right)\)
Nên \(I \in \left( {BC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right) = C{\rm{D}}\)
\(I \in C{\rm{D}}\)
Vậy ba đường thẳng AB’, BM và CD đồng quy tại I.
b) \(MB'\parallel AB \Rightarrow {{MB'} \over {AB}} = {{IM} \over {IB}}\)
Kẻ \(MM' \bot C{\rm{D}}\) và \(BH \bot C{\rm{D}}\)
Ta có: \(MM'\parallel BH \Rightarrow {{IM} \over {IB}} = {{MM'} \over {BH}}\)
Mặt khác:
\(\left\{ \matrix{
dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right) = {1 \over 2}C{\rm{D}}.MM` \hfill \cr
dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right) = {1 \over 2}C{\rm{D}}.BH \hfill \cr} \right.\)
\({{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}} = {{{1 \over 2}C{\rm{D}}.MM'} \over {{1 \over 2}C{\rm{D}}.BH}} = {{MM'} \over {BH}}\)
Do đó: \({{MB'} \over {AB}} = {{IM} \over {IB}} = {{MM'} \over {BH}} = {{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}}\). Vậy \({{MB'} \over {AB}} = {{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}}\)
c) Tương tự ta có: \({{MC'} \over {CA}} = {{dt\left( {\Delta MB{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}}\)
\({{MD'} \over {DA}} = {{dt\left( {\Delta MBC} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}}\)
Vậy :
\(\eqalign{
& {{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {CA}} + {{MD'} \over {DA}} \cr
& = {{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}} + {{dt\left( {\Delta MB{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}} + {{dt\left( {\Delta MBC} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}} \cr
& = {{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right) + dt\left( {\Delta MB{\rm{D}}} \right) + dt\left( {\Delta MBC} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}} \cr
& = {{dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}} = 1. \cr} \)
Sachbaitap.com
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục