Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong tam giác BCD.
a) Dựng đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng (ABC) và (ABD). Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng (ACD) tại B’.
Chứng minh rằng AB’, BM và CD đồng quy tại một điểm.
b) Chứng minh \({{MB'} \over {BA}} = {{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}}\)
c) Đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ACB) và (ACD) kẻ từ M cắt (ABD) tại C’ và đường thẳng song song với hai mặt phẳng (ADC) và (ADB) kẻ từ M cắt (ABC) tại D’. Chứng minh rằng
\({{MB'} \over {BA}} + {{MC'} \over {CA}} + {{M{\rm{D}}'} \over {DA}} = 1\)
Giải:
a) MB’ qua M và song song với (ABC) và \(\left( {ABD} \right) \Rightarrow MB'\) song song với giao tuyến AB của hai mặt phẳng này. Ta có: \(MB'\parallel AB\) nên MB’ và AB xác định một mặt phẳng. Giả sử MB cắt AB’ tại I.
Ta có: \(I \in BM \Rightarrow I \in \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)
\(I \in AB' \Rightarrow I \in \left( {AC{\rm{D}}} \right)\)
Nên \(I \in \left( {BC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right) = C{\rm{D}}\)
\(I \in C{\rm{D}}\)
Vậy ba đường thẳng AB’, BM và CD đồng quy tại I.
b) \(MB'\parallel AB \Rightarrow {{MB'} \over {AB}} = {{IM} \over {IB}}\)
Kẻ \(MM' \bot C{\rm{D}}\) và \(BH \bot C{\rm{D}}\)
Ta có: \(MM'\parallel BH \Rightarrow {{IM} \over {IB}} = {{MM'} \over {BH}}\)
Mặt khác:
\(\left\{ \matrix{
dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right) = {1 \over 2}C{\rm{D}}.MM` \hfill \cr
dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right) = {1 \over 2}C{\rm{D}}.BH \hfill \cr} \right.\)
\({{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}} = {{{1 \over 2}C{\rm{D}}.MM'} \over {{1 \over 2}C{\rm{D}}.BH}} = {{MM'} \over {BH}}\)
Do đó: \({{MB'} \over {AB}} = {{IM} \over {IB}} = {{MM'} \over {BH}} = {{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}}\). Vậy \({{MB'} \over {AB}} = {{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}}\)
c) Tương tự ta có: \({{MC'} \over {CA}} = {{dt\left( {\Delta MB{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}}\)
\({{MD'} \over {DA}} = {{dt\left( {\Delta MBC} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}}\)
Vậy :
\(\eqalign{
& {{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {CA}} + {{MD'} \over {DA}} \cr
& = {{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}} + {{dt\left( {\Delta MB{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}} + {{dt\left( {\Delta MBC} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}} \cr
& = {{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right) + dt\left( {\Delta MB{\rm{D}}} \right) + dt\left( {\Delta MBC} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}} \cr
& = {{dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)} \over {dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}} = 1. \cr} \)
Sachbaitap.com
>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục