Bài 2.41 trang 85 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnhAD và CC’ sao cho \({{AM} \over {M{\rm{D}}}} = {{CN} \over {NC'}}\).

a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACB’)

b) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’)

Giải:

a) Vẽ MP song song với AC và cắt CD tại P

Ta có: \({{AM} \over {M{\rm{D}}}} = {{CP} \over {P{\rm{D}}}} = {{CN} \over {NC'}}\)

Do đó \(PN\parallel DC'\parallel AB'\)

Đường thẳng MN thuộc mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng này có \(MP\parallel AC\) và \(PN\parallel AB'\). Vậy mặt phẳng(MNP)  song song với  mặt phẳng (ACB’) và do đó \(MN\parallel \left( {ACB'} \right)\)

b) Vì mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ACB’) nên hai mặt phẳng đó cắt các mặt bên của hình hộp theo các giao tuyến song song.

Ta vẽ \(NQ\parallel CB',QR\parallel C'A'(\left( {\parallel CA} \right),RS\parallel AB'\left( {\parallel PN} \right)\) và tất nhiên \(SM\parallel QN\). Thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MN và song song với mặt phẳng (ACB’) là  hình lục giác MPNQRS có các cạnh đối diện song song với nhau từng đôi một: \(MP\parallel RQ,PN\parallel SR,NQ\parallel MS\).

Sachbaitap.com