Bài 2.40 trang 84 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AA’ và CC’. Một điểm P nằm trên cạnh bên DD’.

a) Xác định giao điểm Q của đường thẳng BB’ với mặt phẳng (MNP).

b) Mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo một thiết diện. Thiết diện đó có tính chất gì?

c) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD)  của hình hộp.

Giải:

a) Ta có mặt phẳng (AA’, DD’) song song với mặt phẳng (BB’, CC’). Mặt phẳng (MNP) cắt hai mặt phẳng nói trên theo hai giao tuyến song song.

Nếu gọi Q là điểm trên cạnh BB’ sao cho \(NQ\parallel PM\) thì Q là giao điểm của đường thẳng BB’ với mặt phẳng (MNP)

Nhận xét.  Ta có thể tìm điểm Q bằng cách nối P với trung điểm I của đoạn MN và đường thẳng PI cắt BB’ tại Q.

b) Vì mặt phẳng (AA’, BB’) song song với mặt phẳng (DD’, CC’) nên ta có \(MQ\parallel PN\). Do đó mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp theo thiết diện MNPQ là một ình bình hành.

Giả sử P không phải là trung điểm của đoạn DD’. Gọi \(H = PN \cap DC,K = MP \cap A{\rm{D}}\). Ta có D = HK là giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng (ABCD) của hình hộp. Chú ý rằng giao điểm \(E = AB \cap MQ\) cũng  nằm trên giao tuyến  d nói trên. Khi P là trung điểm của DD’ mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABCD).

Sachbaitap.com