Bài 3.16 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:                              

\(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ {\matrix{{2\int\limits_0^a {f(x)dx,(1)} } \cr {0,(2)} \cr} } \right.\)

(1) : nếu f là hàm số chẵn

(2): nếu f là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ - 2}^2 {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dx\)

Hướng dẫn làm bài

Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:

                      \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx + \int\limits_0^a {f(x)dx} } } \)

Đổi biến x = - t đối với tích phân \(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} \) , ta được:

 \(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx =  - \int\limits_a^0 {f( - t)dt = \int\limits_0^a {f(t)dt = \int\limits_0^a {f(x)dx} } } } \)

Vậy \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \)

Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:

Vì \(g(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\)  là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên    \(\int\limits_{ - 2}^2 {g(x)dx = 0}\)

Sachbaitap.com