Bài 3.16 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Bình chọn:
4 trên 2 phiếu

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:                              

\(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ {\matrix{{2\int\limits_0^a {f(x)dx,(1)} } \cr {0,(2)} \cr} } \right.\)

(1) : nếu f là hàm số chẵn

(2): nếu f là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ - 2}^2 {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dx\)

Hướng dẫn làm bài

Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:

                      \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx + \int\limits_0^a {f(x)dx} } } \)

Đổi biến x = - t đối với tích phân \(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} \) , ta được:

 \(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx =  - \int\limits_a^0 {f( - t)dt = \int\limits_0^a {f(t)dt = \int\limits_0^a {f(x)dx} } } } \)

Vậy \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \)

Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:

Vì \(g(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\)  là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên    \(\int\limits_{ - 2}^2 {g(x)dx = 0}\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Bài viết liên quan