Bài 3.4 trang 36 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình sau

a) \(2\tan x - 3\cot x - 2 = 0\)

b) \({\cos ^2}x = 3\sin 2x + 3\)

c) \(\cot x - \cot 2x = \tan x + 1\)

Giải

a) \(2\tan x - 3\cot x - 2 = 0\) Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0

Ta có 

\(\eqalign{
& {\rm{2}}\tan x - {3 \over {\tan x}} - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x - 2\tan x - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = {{1 \pm \sqrt 7 } \over 2} \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
x = \arctan \left( {{{1 + \sqrt 7 } \over 2}} \right) + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = \arctan \left( {{{1 - \sqrt 7 } \over 2}} \right) + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr}\)

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình

b) \({\cos ^2}x = 3\sin 2x + 3\)

Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos²x ta được:

\(\eqalign{
& 1 = 6\tan x + 3\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr
& \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 6\tan x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \tan x = {{ - 3 \pm \sqrt 3 } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \arctan \left( {{{ - 3 + \sqrt 3 } \over 3}} \right) + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr
x = \arctan \left( {{{ - 3 - \sqrt 3 } \over 3}} \right) + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr} \)

c) \(\cot x - \cot 2x = \tan x + 1\)      (1)

Điều kiện: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Khi đó:

\(\eqalign{
& \left( 1 \right) \Leftrightarrow {{\cos x} \over {\sin x}} - {{\cos 2x} \over {\sin 2x}} = {{\sin x} \over {\cos x}} + 1 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - \cos 2x = 2{\sin ^2}x + \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) - \cos 2x = \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \cos 2x = \sin 2x \cr
& \Leftrightarrow \tan 2x = 1 \cr
& \Rightarrow 2x = {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \cr
& \Rightarrow x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2},k \in Z \cr} \)

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình