Bài 3.66 trang 134 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0),\(S(0;0;2\sqrt 2 )\) . Gọi M là trung điểm cạnh SC.

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa SA và song song với BM.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.

Hướng dẫn làm bài

a) Ta có  C(-2; 0; 0) và \(M( - 1;0;\sqrt 2 )\)

Gọi \((\alpha )\)  là mặt phẳng chứa SA và song song với BM. Hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \((\alpha )\)  là \(\overrightarrow {SA}  = (2;0; - 2\sqrt 2 )\)  và \(\overrightarrow {BM}  = ( - 1; - 1;\sqrt 2 )\)

Suy ra vecto pháp tuyến của \((\alpha )\)   là : \(\overrightarrow n  = ( - 2\sqrt 2 ;0; - 2)\) hay \(\overrightarrow n ' = (\sqrt 2 ;0;1)\)

Mặt phẳng \((\alpha )\)  có phương trình: \(\sqrt 2 (x - 2) + z = 0\)  hay \(\sqrt 2 x + z - 2\sqrt 2  = 0\)

b) Ta có \(d\left( {SA,{\rm{ }}BM} \right){\rm{ }} = d(B;(\alpha )) = {{| - 2\sqrt 2 |} \over {\sqrt {2 + 1} }} = {{2\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }}\)

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM là  \({{2\sqrt 6 } \over 3}\).

Sachbaitap.com