Bài 37 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hai đường thẳng song song \(\Delta_1 \): \(ax+by+c=0\) và \(\Delta_2 \): \(ax+by+d=0\). Chứng minh rằng

a) Khoảng cách giữa \(\Delta \)₁ và \(\Delta \)₂ bằng \( \dfrac{{|c - d|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\);

b) Phương trình đường thẳng song song và cách đều \(\Delta \)₁ và \(\Delta \)₂ có dạng \(ax + by +  \dfrac{{c + d}}{2} = 0\).

Áp dụng: Cho hai đường thẳng song song có phương trình \(-3x+4y-10=0\) và \(-3x+4y+1=0\). Hãy lập phương trình đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng trên.

Giải

a) Lấy \(M(x_0 ; y_0)\) thuộc \({\Delta _1}\), suy  ra \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\). Kí hiệu \(d({\Delta _1} ; {\Delta _2})\)là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Khi đó ta có:

\(d({\Delta _1} ; {\Delta _2}) = d( M ; {\Delta _2})\)

\(=  \dfrac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} =  \dfrac{{|c - d|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

b) Phương trình đường thẳng \({\Delta _3}\) song song với \({\Delta _1}\) và \({\Delta _3}\) có dạng

\(ax + by + e = 0  (e \ne c, e \ne d)\).

Áp dụng câu a), ta có

\(d({\Delta _1} ; {\Delta _3}) =  \dfrac{{|c - e|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}  ;\)

\(   d({\Delta _2} ; {\Delta _3}) =  \dfrac{{|d - e|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

\({\Delta _3}\) cách đều hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi

\(d({\Delta _1} ; {\Delta _3}) = d({\Delta _2} ; {\Delta _3})\)

\( \Leftrightarrow   |c - e| = |d - e|   \Leftrightarrow     \left[ \begin{array}{l}c = d\\e =  \dfrac{{c + d}}{2}\end{array} \right.\)

Trường hợp c=d loại vì \({\Delta _1} \ne {\Delta _2}\).

Vậy phương trình của \({\Delta _3}\) là \(ax + by +  \dfrac{{c + d}}{2} = 0\).

Áp dụng: Đường thẳng song song và cách đều ha đường thẳng đã cho có phương trình:

\( - 3x + 4y +  \dfrac{{ - 10 + 1}}{2} = 0\) hay \( - 3x + 4y -  \dfrac{9}{2} = 0\).

Sachbaitap.com