Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 41 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 41 trang 106 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho đường thẳng \(\Delta _m\): \((m-2)x+(m-1)y+2m-1=0\) và hai điểm \(A(2 ; 3), B(1 ; 0).\)

a) Chứng minh rằng \(\Delta_m \) luôn đi qua một điểm cố định với mọi \(m;\)

b) Xác định \(m\) để \(\Delta_m \) có ít nhất một điểm chung với đoạn thẳng \(AB;\)

c) Tìm \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\Delta_m \) là lớn nhất.

Giải

a) \({\Delta _m}\) luôn đi qua điểm cố định \(M(x_0 ; y_0)\) với mọi \(m\) khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}(m - 2){x_0} + (m - 1){y_0} + 2m - 1 = 0  \,\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow    ({x_0} + {y_0} + 2)m - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0  \,\,\,\,\, \forall m\\ \Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {y_0} + 2 = 0\\ - 2{x_0} - {y_0} - 1 = 0\end{array} \right.     \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} =  - 3.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \({\Delta _m}\) luôn đi qua điểm cố định \(M(1 ; -3)\) với mọi \(m\).

b) Đặt 

\(f(x,y) = (m - 2)x + (m - 1)y + 2m - 1 = 0\)

\({\Delta _m}\) có ít nhất một điểm chung với đoạn \(AB\) \( \Leftrightarrow   f({x_A} , {y_A}).f({x_B} , {y_B}) \le 0\)

\( \Leftrightarrow    (7m - 8)(3m - 3) \le 0 \)

\(     \Leftrightarrow     1 \le m \le  \dfrac{8}{7}\).

c) (h.103).

Dựng \(AH \bot {\Delta _m}\). Ta có \(AH \le AM\) với mọi \(m\) (\(M\) là điểm thuộc \({\Delta _m}\) với mọi \(m\) đã nói ở câu a). Vậy \(AH\) lớn nhất bằng \(AM\) khi và chỉ khi \(H\) trùng với \(M\) hay \(AM \bot {\Delta _m}\).

Ta có : \(\overrightarrow {AM}  = ( - 1 ;  - 6), {\Delta _m}\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u (1 - m ; m - 2)\).

\(AM \bot {D_m}    \Leftrightarrow    \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u  = 0 \)

\(    \Leftrightarrow     - 1(1 - m) - 6(m - 2) = 0 \)

\(    \Leftrightarrow    m =  \dfrac{{11}}{5}\).

Vậy với \(m =  \dfrac{{11}}{5}\) thì khoảng cách từ \(A\) đến \({\Delta _m}\) là lớn nhất.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan