Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 45 trang 107 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 45 trang 107 SBT Hình học 10 Nâng cao

Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) biết phương trình các cạnh \(AB: 3x+4y-6=0 ;\)   \(AC: 4x+3y-1=0 ;\)   \(BC: y=0.\)

Giải

Tọa độ cũa \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 6 = 0\\4x + 3y - 1 = 0\end{array} \right.\).

Giải hệ ta có \(A=(-2 ; 3).\)

Tương tự, ta tính được \(B(2 ; 0),\) \(C\left( { \dfrac{1}{4} ; 0} \right)\).

Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \(A\) là

\( \dfrac{{3x + 4y - 6}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} =  \pm  \dfrac{{4x + 3y - 1}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\\    \Leftrightarrow    \left[ \begin{array}{l}x - y + 5 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x + y - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2).\end{array} \right.\)

Thay lần lượt tọa độ của \(B, C\) vào vế trái của (1), ta được: \(2+5=7>0;\) \( \dfrac{1}{4} + 5 > 0\). Vậy (2) là phương trình đường phân giác trong của góc \(A\).

Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc \(B\) là

\( \dfrac{{3x + 4y - 6}}{5} =  \pm y \)

\(    \Leftrightarrow    \left[ \begin{array}{l}3x - y - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\\x + 3y - 2 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.\)

Thay lần lượt tọa độ của \(A, C\) vào vế trái của (4), ta được \(-2+3.3-2=5 > 0,\) \( \dfrac{1}{4} - 2 =  -  \dfrac{7}{4} < 0\). Vậy (4) là phương trình đường phân giác trong của góc \(B\).

Gọi \(I(x,y)\) và \(r\) là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp  tam giác \(ABC\). Khi đó tọa độ của \(I\) là  nghiệm của hệ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x + 3y - 2 = 0\end{array} \right.     \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}x =  \dfrac{1}{2}\\y =  \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow     I = \left( { \dfrac{1}{2} ;  \dfrac{1}{2}} \right)\).

\(r = d(I ; BC) =  \dfrac{1}{2}\). Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là:

\({\left( {x -  \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y -  \dfrac{1}{2}} \right)^2} =  \dfrac{1}{4}\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan