Bài 48 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao

Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và

a) Đi qua \(A(2 ; -1).\)

b) Có tâm thuộc đường thẳng \(3x-5y-8=0.\)

Giải

Phương trình đường tròn \((C)\), tâm \(I(a ; b)\), bán kính \(R\) có dạng

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).

\((C)\) tiếp xúc với \(Ox, Oy\) khi và chỉ khi \(|a| = |b| = R\). Phương trình của \((C)\) trở thành

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {a^2}\).

a) \(A(2 ;  - 1)   \in (C)\)

\( \Rightarrow    {(2 - a)^2} + {( - 1 - b)^2} = {a^2}\).         (1)

Với \(a=b\) thì  \((1)   \Leftrightarrow   {(2 - a)^2} + {(1 + a)^2} = {a^2}\)

\( \Leftrightarrow    {a^2} - 2a + 5 = 0\), phương trình vô nghiệm.

Với \(a=-b\) thì \( (1)   \Leftrightarrow   {(2 - a)^2} + {(a - 1)^2} = {a^2}\)

\( \Leftrightarrow   {a^2} - 6a + 5 = 0   \Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(a = 5\).

- Khi \(a = 1   \Rightarrow   b =  - 1, R = 1\), ta được đường tròn \(({C_1}):  {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 1\).

- Khi \(a = 5   \Rightarrow   b =  - 5, R = 5\), ta được đường tròn \(({C_2}):  {(x - 5)^2} + {(y + 5)^2} = 25\).

b) \(I\) thuộc đường thẳng \(3x-5y-8=0\) nên \(3a-5b-8=0.\)       (2)

Với \(a=b\) thì \((2)   \Leftrightarrow   3a - 5a - 8 = 0   \Leftrightarrow   a =  - 4 \) \( \Rightarrow   b =  - 4, R = 4\).

Ta được đường tròn \(({C_1}):  {(x + 4)^2} + {(y + 4)^2} = 16\).

Với \(a=-b\) thì \((2)   \Leftrightarrow   3a - 5.( - a) - 8 = 0 \) \(  \Leftrightarrow   a = 1   \Rightarrow   b =  - 1,R = 1\).

Ta được đường tròn \(({C_2}):  {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 1\).

Sachbaitap.com