Bài 50 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao

Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm \(A(-1 ; 0),\) \(B(1 ; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x - y - 1 = 0\).

Giải

Gọi \(I(a ;b)\) và \(R\) là tâm và bán kính của đường \((C)\) cần tìm. Phương trình của \((C)\) là \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).

\((C)\) tiếp xúc với \(\Delta :  x - y - 1 = 0\) khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}d(I; \Delta ) = R \Leftrightarrow     \dfrac{{|a - b - 1|}}{{\sqrt 2 }} = R\\A, B  \in  (C) \\  \Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l}{( - 1 - a)^2} + {b^2} = {R^2}\\{(1 - a)^2} + {(2 - b)^2} = {R^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}{(a + 1)^2} + {b^2} =  \dfrac{{{{(a - b - 1)}^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} =  \dfrac{{{{(a - b - 1)}^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\({(a + 1)^2} + {b^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} \)

\(   \Leftrightarrow   a = 1 - b\).

Thay \(a=1-b\) vào (2), ta có:

\({b^2} + {(b - 2)^2} = 2{b^2} \)

\(   \Rightarrow   b = 1    \Rightarrow   a = 0, R = \sqrt 2 \).

Phương trình của \((C): {x^2} + {(y - 1)^2} = 2\).

Sachbaitap.com