Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 54 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
3.3 trên 6 phiếu

Giải bài tập Bài 54 trang 108 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\) và điểm \(A(1 ; 3).\)

a) Chứng minh rằng \(A\) ở ngoài đường tròn;

b) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) kẻ từ \(A;\)

c) Gọi \(T_1, T_2\) là các tiếp điểm ở câu b), tính diện tích tam giác \(AT_1T_2\).

Giải

a) \((C)\) có tâm \(I(3 ; -1)\), bán kính \(R=2.\)

\(IA = \sqrt {{{(1 - 3)}^2} + {{(3 + 1)}^2}}\)

\(  = 2\sqrt 5    > R\), suy ra \(A\) nằm ngoài \((C).\)

b) \(A\) nằm ngoài \((C)\) nên từ \(A\) ta kẻ được hai tiếp tuyến đến \((C).\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) có phương trình:

\(\alpha (x - 1) + \beta (y - 3) = 0  \)

\(   \Leftrightarrow    \alpha x + \beta y - \alpha  - 3\beta  = 0 \)     \(({\alpha ^2} + {\beta ^2}   \ne 0)\).

\(\Delta \) tiếp xúc với (C)

\( \Leftrightarrow   d(I ; \Delta ) = R  \)

\(  \Leftrightarrow   \dfrac{{|3\alpha  - \beta  - \alpha  - 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)

\(|\alpha  - 2\beta | = \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \)

\(     \Leftrightarrow   \beta (3\beta  - 4\alpha ) = 0     \Leftrightarrow    \left[ \begin{array}{l}\beta  = 0\\\beta  =  \dfrac{4}{3}\alpha .\end{array} \right.\)

Với \(\beta  = 0\), ta chọn \(\alpha  = 1\), ta được tiếp tuyến thứ nhất : \(x-1=0.\)

Với \(\beta  =  \dfrac{4}{3}\alpha \), ta chọn \(\alpha  = 3, \beta  = 4\), ta được tiếp tuyến thứ hai: \(3x+4y-15=0.\)

c) Từ câu b), giải hệ để tìm ra tọa độ tiếp điểm \(T_1, T_2\) của các đường tiếp tuyến với \((C)\). Tính góc giữa hai  đường tiếp tuyến . Từ đó tính diện tích của tam giác \(AT_1T_2\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan