Bài 56 trang 109 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hai đường tròn

\(({C_1}): {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 11 = 0 ; \)

\( ({C_1}):  {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\).

a) Xét vị trí tương đối của \((C_1)\) và \((C_2)\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của \((C_1)\) và \((C_2).\)

Giải

a) \((C_1)\) có tâm \(I_1(2 ; 4)\), bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + {4^2} - 11}  = 3\).

\((C_2)\) có tâm \(I_2(1 ; 1)\), bán kính \({R_2} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2}  = 2\).

\(1 = |{R_1} - {R_2}| < {I_1}{I_2}\)

\(= \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{(1 - 4)}^2}}\)

\(  = \sqrt {10}  < {R_1} + {R_2} = 5\).

Suy ra \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau.

b) (h.107).

Theo câu a), \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau nên chúng có hai tiếp tuyến chung. Tiếp tuyến chung \(\Delta \) có phương trình : \(\alpha x + \beta y + \gamma  = 0  ({\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0)\).

\(\Delta \) tiếp xúc với \((C_1)\) và \((C_2)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1} ; \Delta ) = {R_1}\\d({I_2} ; \Delta ) = {R_2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{|2\alpha  + 4\beta  + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 3                      (1)\\ \dfrac{{|\alpha  + \beta  + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2                           (2)\end{array} \right.\\ \Rightarrow    2|2\alpha  + 4\beta  + \gamma | = 3|\alpha  + \beta  + \gamma |\\ \Leftrightarrow   4\alpha  + 8\beta  + 2\gamma  =  \pm (3\alpha  + 3\beta  + 3\gamma )\\ \Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}\gamma  = \alpha  + 5\beta \\\gamma  =  -  \dfrac{{7\alpha  + 11\beta }}{5}.\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(\gamma  = \alpha  + 5\beta \) vào (2) ta có:

\( \dfrac{{|2\alpha  + 6\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)

\(    \Leftrightarrow    {(\alpha  + 3\beta )^2} = {a^2} + {\beta ^2} \)

\(  \Leftrightarrow    2\beta (4\beta  + 3\alpha ) = 0\)

\( \Leftrightarrow    \beta  = 0\) hoặc \(4\beta  =  - 3\alpha \).

Với \(\beta  = 0\)( do đó \(\alpha  \ne 0\)), suy ra \(\gamma  = \alpha \). Ta có tiếp tuyến chung thứ nhất

\({\Delta _1}:  x + 1 = 0\).

Với \(4\beta  =  - 3\alpha \), chọn \(\alpha  = 4, \beta  =  - 3\), ta được \(\gamma  =  - 11\). Ta có tiếp tuyến chung thứ hai

\({\Delta _2}:  4x - 3y - 11 = 0\).

Thay \(\gamma  =  -  \dfrac{{7\alpha  + 11\beta }}{5}\) vào (2), ta có

\( \dfrac{{|2\alpha  + 6\beta |}}{{5\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 \)

\(   \Leftrightarrow   {(\alpha  + 3\beta )^2} = 25({\alpha ^2} + {\beta ^2})\)

\(    \Leftrightarrow   12{\alpha ^2} - 3\alpha \beta  + 8{\beta ^2} = 0\), phương trìn vô nghiệm.

Vậy \((C_1)\) và \((C_2)\) có hai tiếp tuyến chung là

\(\begin{array}{l}{\Delta _1}:  x + 1 = 0;\\{\Delta _2}:  4x - 3y - 11 = 0.\end{array}\)

Sachbaitap.com