Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 56 trang 109 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 56 trang 109 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho hai đường tròn

\(({C_1}): {x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 11 = 0 ; \)

\( ({C_1}):  {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\).

a) Xét vị trí tương đối của \((C_1)\) và \((C_2)\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của \((C_1)\) và \((C_2).\)

Giải

a) \((C_1)\) có tâm \(I_1(2 ; 4)\), bán kính \({R_1} = \sqrt {{2^2} + {4^2} - 11}  = 3\).

\((C_2)\) có tâm \(I_2(1 ; 1)\), bán kính \({R_2} = \sqrt {{1^2} + {1^2} + 2}  = 2\).

\(1 = |{R_1} - {R_2}| < {I_1}{I_2}\)

\(= \sqrt {{{(1 - 2)}^2} + {{(1 - 4)}^2}}\)

\(  = \sqrt {10}  < {R_1} + {R_2} = 5\).

Suy ra \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau.

b) (h.107).

 

Theo câu a), \((C_1)\) và \((C_2)\) cắt nhau nên chúng có hai tiếp tuyến chung. Tiếp tuyến chung \(\Delta \) có phương trình : \(\alpha x + \beta y + \gamma  = 0  ({\alpha ^2} + {\beta ^2} > 0)\).

\(\Delta \) tiếp xúc với \((C_1)\) và \((C_2)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}d({I_1} ; \Delta ) = {R_1}\\d({I_2} ; \Delta ) = {R_2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{|2\alpha  + 4\beta  + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 3                      (1)\\ \dfrac{{|\alpha  + \beta  + \gamma |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2                           (2)\end{array} \right.\\ \Rightarrow    2|2\alpha  + 4\beta  + \gamma | = 3|\alpha  + \beta  + \gamma |\\ \Leftrightarrow   4\alpha  + 8\beta  + 2\gamma  =  \pm (3\alpha  + 3\beta  + 3\gamma )\\ \Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}\gamma  = \alpha  + 5\beta \\\gamma  =  -  \dfrac{{7\alpha  + 11\beta }}{5}.\end{array} \right.\end{array}\)

Thay \(\gamma  = \alpha  + 5\beta \) vào (2) ta có:

\( \dfrac{{|2\alpha  + 6\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)

\(    \Leftrightarrow    {(\alpha  + 3\beta )^2} = {a^2} + {\beta ^2} \)

\(  \Leftrightarrow    2\beta (4\beta  + 3\alpha ) = 0\)

\( \Leftrightarrow    \beta  = 0\) hoặc \(4\beta  =  - 3\alpha \).

Với \(\beta  = 0\)( do đó \(\alpha  \ne 0\)), suy ra \(\gamma  = \alpha \). Ta có tiếp tuyến chung thứ nhất

\({\Delta _1}:  x + 1 = 0\).

Với \(4\beta  =  - 3\alpha \), chọn \(\alpha  = 4, \beta  =  - 3\), ta được \(\gamma  =  - 11\). Ta có tiếp tuyến chung thứ hai

\({\Delta _2}:  4x - 3y - 11 = 0\).

Thay \(\gamma  =  -  \dfrac{{7\alpha  + 11\beta }}{5}\) vào (2), ta có

\( \dfrac{{|2\alpha  + 6\beta |}}{{5\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2 \)

\(   \Leftrightarrow   {(\alpha  + 3\beta )^2} = 25({\alpha ^2} + {\beta ^2})\)

\(    \Leftrightarrow   12{\alpha ^2} - 3\alpha \beta  + 8{\beta ^2} = 0\), phương trìn vô nghiệm.

Vậy \((C_1)\) và \((C_2)\) có hai tiếp tuyến chung là

\(\begin{array}{l}{\Delta _1}:  x + 1 = 0;\\{\Delta _2}:  4x - 3y - 11 = 0.\end{array}\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan