Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 58 trang 109 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
3.6 trên 9 phiếu

Giải bài tập Bài 58 trang 109 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho đường cong \((C_m)\) có phương trình:

\({x^2} + {y^2} + (m + 2)x - (m + 4)y + m + 1 = 0\)

a) Chứng minh rằng \((C_m)\) luôn là đường tròn với mọi giá trị của m.

b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn \((C_m)\) khi m thay đổi.

c) Chứng minh rằng khi \(m\) thay đổi, họ các đường tròn \((C_m)\) luôn đi qua hai điểm cố định.

d) Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ \((C_m)\) không đi qua dù m lấy bất cứ giá trị nào.

Giải

a) Phương trình \((C_m)\) có dạng \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\).

Với \(a =  \dfrac{{m + 2}}{2} ,  b =  -  \dfrac{{m + 4}}{2} ,  c = m + 1\).

Ta có

\({a^2} + {b^2} - c\)

\(= {\left( { \dfrac{{m + 2}}{2}} \right)^2} + {\left( { \dfrac{{m + 4}}{2}} \right)^2} - (m + 1)\)

\(=  \dfrac{{{m^2} + 4m + 8}}{2} > 0\) với mọi \(m.\)

Vậy \((C_m)\) là đường tròn với mọi giá trị của \(m.\)

b) Tọa độ tâm \(I_m\) của đường tròn \((C_m)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  -  \dfrac{{m + 2}}{2}\\y =  \dfrac{{m + 4}}{2}\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow    \left\{ \begin{array}{l}2x =  - (m + 2)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2y = m + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được \(2x+2y=2\) hay \(x+y-1=0.\)

Vậy tập hợp tâm của các đường tròn \((C_m)\) là đường thẳng có phương trình: \(x+y-1=0.\)

c) Gọi \(M(x_0 ;y_0)\) là điểm cố định mà họ \((C_m)\) luôn đi qua. Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}x_0^2 + y_0^2 + (m + 2){x_0} - (m + 4){y_0} + m + 1 = 0  \,\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow    ({x_0} - {y_0} + 1)m + x_0^2 + y_0^2 + 2{x_0} - 4{y_0} + 1 = 0   \,\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - {y_0} + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\x_0^2 + y_0^2 + 2{x_0} - 4{y_0} + 1 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)

Từ (1) suy ra \(x_0=y_0-1,\) thay vào (2), ta được:

\({({y_0} - 1)^2} + y_0^2 + 2({y_0} - 1) - 4{y_0} + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow       2y_0^2 - 4{y_0} = 0      \Leftrightarrow      \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 0\\{y_0} = 2.\end{array} \right.\)

Với \(y_0=0\) thì \(x_0=-1\). Ta được điểm \(M_1(-1 ; 0).\)

Với \(y_0=2\) thì \(x_0=1.\) Ta được điểm \(M_1(1 ; 2).\)

Vậy họ đường tròn \((C_m)\) luôn đi qua hai điểm cố định là \(M_1(-1 ; 0)\) và \(M_2(1 ; 2).\)

d) (h.108).

 

\((C_m)\) không đi qua điểm \((x_1 ; y_1)\) với mọi \(m\) khi và chỉ khi phương trình (ẩn \(m\)) :

\(({x_1} - {y_1} + 1)m + x_1^2 + y_1^2 + 2{x_1} - 4{y_1} + 1 = 0\) vô nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{x_1} - {y_1} + 1 = 0\\x_1^2 + y_1^2 + 2{x_1} - 4{y_1} + 1 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1} + 1\\{x_1} \ne  \pm 1.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ \((C_m)\) không bao giờ đi qua với mọi giá trị của \(m\) là đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(y=x+1\), bỏ đi hai điểm \(M_1(-1 ; 0)\) và \(M_2(1 ; 2).\)

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan