Bài 61 trang 111 SBT Hình học 10 Nâng cao

Lập phương trình chính tắc của elip \((E)\) biết

a) \(A(0 ; -2)\) là một đỉnh và \(F(1 ; 0)\) là một tiêu điểm của \((E);\)

b) \(F_1(-7 ; 0)\) là một tiêu điểm và \((E)\) đi qua \(M(-2 ; 12);\)

c) Tiêu cự bằng \(6\), tâm sai bằng \( \dfrac{3}{5}\);

d) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là \(x =  \pm  4,  y =  \pm 3\).

e) \((E)\) đi qua hai điểm \(M(4 ; \sqrt 3 ) ,  N(2\sqrt 2  ;  - 3)\).

Giải

Elip \((E)\) có phương trình chính tắc : \( \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1  (a > b > 0)\).

a) \(A(0 ; -2)\) là một đỉnh \( \Rightarrow   b = 2 ;  F(1 ; 0)\) là một tiêu điểm \( \Rightarrow   c = 1\).

\({a^2} = {b^2} + {c^2} = 5\).

Vậy phương trình của \((E)\) là : \( \dfrac{{{x^2}}}{5} +  \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).

b) \({F_1}( - 7 ; 0)\) là một tiêu điểm  \( \Rightarrow \) tiêu điểm thứ hai là: \({F_2}(7 ; 0)\).

\(m \in (E)   \Rightarrow   2a = M{F_1} + M{F_2}\)

\(= \sqrt {{{( - 7 + 2)}^2} + {{12}^2}}  + \sqrt {{{(7 + 2)}^2} + {{12}^2}}\)

\(  = 28    \Rightarrow   a = 14\).

\(F( - 7 ; 0)\) là tiêu điểm \( \Rightarrow   c = 7   \Rightarrow   {b^2} = {a^2} - {c^2} = 147\).

Phương trình của \((E)\) là: \( \dfrac{{{x^2}}}{{196}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{147}} = 1\).

c) \(2c = 6   \Rightarrow   c = 3 ,\) \(  e =  \dfrac{c}{a} =  \dfrac{3}{5} , \) \(  \Rightarrow   a = 5,  {b^2} = {a^2} - {c^2} = 16\).

Phương trình của \((E)\) là : \( \dfrac{{{x^2}}}{{25}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\)

d) \(a = 4, b = 3   \Rightarrow \) phương trình của \((E)\) là \( \dfrac{{{x^2}}}{{16}} +  \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)

e) \(M, N  \in (E)   \Rightarrow   \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{16}}{{{a^2}}} +  \dfrac{3}{{{b^2}}} = 1\\ \dfrac{8}{{{a^2}}} +  \dfrac{9}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.  \)

\(   \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 20\\{b^2} = 15.\end{array} \right.\)

Phương trình của \((E)\) là : \( \dfrac{{{x^2}}}{{20}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{15}} = 1\).

Sachbaitap.com