Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 63 trang 111 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.1 trên 10 phiếu

Giải bài tập Bài 63 trang 111 SBT Hình học 10 Nâng cao

Tìm những điểm trên elip \((E):  \dfrac{{{x^2}}}{9} + {y^2} = 1\) thỏa mãn

a) Có bán kính qua tiêu điểm trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm phải.

b) Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

c)  Nhìn hai tiêu điểm dưới góc \(60^0\).

Giải

\({a^2} = 9   \Rightarrow   a = 3 ;\) \(  {b^2} = 1   \Rightarrow   b = 1 ; \) \( {c^2} = {a^2} - {b^2} = 8   \Rightarrow    c = 2\sqrt 2 \).

Elip \((E)\) có các tiêu điểm: \({F_1}( - 2\sqrt 2  ; 0) ,  {F_2}(2\sqrt 2  ; 0)\).

a) Gọi \(M(x ; y)  \in  (E)\) là điểm cần tìm. Khi đó:

\(\begin{array}{l}M{F_1} = 2M{F_2} \\  \Leftrightarrow   a + ex = 2(a - ex)  \\ \Leftrightarrow   x =  \dfrac{a}{{3e}} =  \dfrac{{{a^2}}}{{3c}} =  \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }}.\\M \in (E)\\    \Rightarrow   {y^2} = 1 -  \dfrac{{{x^2}}}{9}\\ = 1 -  \dfrac{9}{{9.8}} =  \dfrac{7}{8}  \\ \Rightarrow   y =  \pm  \dfrac{{\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}.\end{array}\)

Có hai điểm cần tìm là \(\left( { \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }} ;  \pm  \dfrac{{\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}} \right)\).

b) Gọi \(N(x ; y) \in (E)\) là điểm cần tìm. Khi đó:

\(\overrightarrow {{F_1}N}  = \left( {x   + 2\sqrt 2  ; y} \right) , \) \( \overrightarrow {{F_2}N}  = \left( {x - 2\sqrt 2  ; y} \right)\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {{F_1}N}  \bot \overrightarrow {{F_2}N}     \Leftrightarrow   \overrightarrow {{F_1}N} .\overrightarrow {{F_2}N}  = 0 \\  \Leftrightarrow   \left( {x + 2\sqrt 2 } \right)\left( {x - 2\sqrt 2 } \right) + {y^2} = 0\\\Leftrightarrow   {x^2} - 8 + {y^2} = 0(1)\\N \in (E)   \Rightarrow   \dfrac{{{x^2}}}{9} + {y^2} = 1. (2)\end{array}\)

Giải (1) và (2) ta được \({x^2} =  \dfrac{{63}}{8}  \)và \({y^2} =  \dfrac{1}{8}   \Rightarrow   x =  \pm  \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\) và \(y =  \pm  \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\).

Có bốn điểm cần tìm là : \(\left( { \pm  \dfrac{{3\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }} ;  \pm  \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)\).

c) Gọi \(P(x ; y)  \in (E)  \) là điểm cần tìm. Ta có:

\(\begin{array}{l}{F_1}{F_2}^2 \\= {F_1}{P^2} + {F_2}{P^2} - 2{F_1}P.{F_2}P.\cos {60^0}\\ = {({F_1}P + {F_2}P)^2} - 2.{F_1}P.{F_2}P - 2{F_1}P.{F_2}P. \dfrac{1}{2}\\= 4{a^2} - 3{F_1}P.{F_2}P \\= 4{a^2} - 3(a + ex)(a - ex)\\ = 4{a^2} - 3({a^2} - {e^2}{x^2}) \\= {a^2} + 3{e^2}{x^2}.\end{array}\)

Như vậy 

\(\begin{array}{l}4{c^2} = {a^2} + 3. \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}}{x^2} \\  \Rightarrow    {x^2} =  \dfrac{{(4{c^2} - {a^2}).{a^2}}}{{3{c^2}}}\\ =  \dfrac{{(4.8 - 9).9}}{{3.8}} =  \dfrac{{69}}{8}\\\Rightarrow   x =  \pm  \dfrac{{\sqrt {69} }}{{2\sqrt 2 }}.\\P \in (E)   \Rightarrow   {y^2} = 1 -  \dfrac{{{x^2}}}{9} \\= 1 -  \dfrac{{23}}{{24}} =  \dfrac{1}{{24}}    \Rightarrow   y =  \pm  \dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}.\end{array}\)

Có bốn điểm cần tìm với tọa độ là \(\left( { \pm  \dfrac{{\sqrt {69} }}{{2\sqrt 2 }} ;  \pm  \dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}} \right)\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan