Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 66 trang 112 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 66 trang 112 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho elip \((E):  \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} =  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,(a > b > 0).\)

a)  Chứng minh rằng với mọi \(M\) thuộc \((E),\) ta luôn có \(b \le OM \le a\).

b) Gọi \(A\) là giao điểm của đường thẳng có phương trình \(\alpha x + \beta y = 0\) với \((E)\). Tính \(OA\) theo \(a, b, \alpha , \beta \).

c) Gọi \(B\) là điểm trên \((E)\) sao cho \(OA \bot OB\). Chứng minh rằng tổng \( \dfrac{1}{{O{A^2}}} +  \dfrac{1}{{O{B^2}}}\) có giá trị không đổi.

d) Chứng minh rằng đường thẳng \(AB\) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Giải:

a) \(M({x_0} ; {y_0}) \in (E)   \)

\(\Rightarrow    \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1   (a > b > 0)  ;\)

\(  O{M^2} = x_0^2 + y_0^2\).

Ta có

\(\begin{array}{l} \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{a^2}}} \le  \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1  \\  \Leftrightarrow    x_0^2 + y_0^2 \le {a^2}  \\  \Leftrightarrow O{M^2} \le {a^2}    \Leftrightarrow OM \le a.\\ \dfrac{{x_0^2}}{{{b^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} \ge  \dfrac{{x_0^2}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1    \\\Leftrightarrow    x_0^2 + y_0^2 \ge {b^2}    \Leftrightarrow O{M^2} \ge {b^2} \\   \Leftrightarrow OM \ge b.\end{array}\)

Vậy \(b \le OM \le a\). Ta có \(a=OM\) khi và chỉ khi \(y_0=0,\) tức là \(M\) trùng với các đỉnh trên trục lớn.

Ta có \(b=OM\) khi và chỉ khi \(x_0=0,\) tức là \(M\) trùng với các đỉnh trên trục bé.

b) Tọa  độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\alpha x + \beta y = 0\\ \dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} +  \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \\   \Rightarrow   x_A^2 =  \dfrac{{{a^2}{b^2}{\beta ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}} , \\  y_A^2 =  \dfrac{{{a^2}{b^2}{\alpha ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}}.\\O{A^2} = x_A^2 + y_A^2\\ =  \dfrac{{{a^2}{b^2}{\beta ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}} +  \dfrac{{{a^2}{b^2}{\alpha ^2}}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}}\\ =  \dfrac{{{a^2}{b^2}({\alpha ^2} + {\beta ^2})}}{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}}}.\\ \Rightarrow   OA =  \dfrac{{ab.\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }}{{\sqrt {{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2}} }}.\end{array}\)

c) Do \(OA\) vuông góc với \(OB\) nên phương trình đường thẳng \(OB\) là: \(\beta x - \alpha y = 0\). \(B\) là giao điểm của \((E)\) với đường thẳng \(\beta x + ( - \alpha )y = 0\) nên áp dụng câu b), ta có

\(O{B^2} =  \dfrac{{{a^2}{b^2}\left[ {{\beta ^2} + {{( - \alpha )}^2}} \right]}}{{{a^2}{\beta ^2} + {b^2}{{( - \alpha )}^2}}}\)

\(=  \dfrac{{{a^2}{b^2}({\alpha ^2} + {\beta ^2})}}{{{a^2}{\beta ^2} + {b^2}{\alpha ^2}}}.\)

Do đó :

\( \dfrac{1}{{O{A^2}}} +  \dfrac{1}{{O{B^2}}}\)

\(=  \dfrac{{{a^2}{\alpha ^2} + {b^2}{\beta ^2} + {a^2}{\beta ^2} + {b^2}{\alpha ^2}}}{{{a^2}{b^2}({\alpha ^2} + {\beta ^2})}} \)

\(=  \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\) không đổi.

d)

Kẻ \(OH \bot AB\). Trong tam giác vuông \(AOB,\) ta có

\(\begin{array}{l} \dfrac{1}{{O{H^2}}} =  \dfrac{1}{{O{A^2}}} +  \dfrac{1}{{O{B^2}}} =  \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{a^2}{b^2}}}\\ \Rightarrow    OH =  \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\end{array}\)

Vậy đường thẳng \(AB\) luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm \(O,\) bán kính \(R =  \dfrac{{ab}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan