Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 65 trang 112 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 65 trang 112 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho elip \((E)\) có phương trình \( \dfrac{{{x^2}}}{9} +  \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\).

a) Tìm tịa độ các tiêu điểm, các đỉnh; tính tâm sai và vẽ elip \((E)\).

b) Xác định m để đường thẳng \(d: y=x+m\) và \((E)\) có điểm chung.

c) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M(1 ; 1)\) và cắt \((E)\) tại hai điểm \(A, B\) sao cho \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

Giải

a) \({a^2} = 9   \Rightarrow   a = 3 ,\) \(  {b^2} = 4   \Rightarrow   b = 2 ,\) \(  {c^2} = {a^2} - {b^2} = 5   \Rightarrow   c = \sqrt 5 \).

Các tiêu điểm : \({F_1}( - \sqrt 5  ; 0) ,{F_2}(\sqrt 5  ; 0) \).

Các đỉnh: \(( \pm 3 ; 0) ,  (0 ;  \pm 2)\).

Tâm sai : \(e =  \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Elip được vẽ như hình 112.

b) Hoành độ giao điểm của \(d\) và \((E)\) là nghiệm của phương trình:

\( \dfrac{{{x^2}}}{9} +  \dfrac{{{{(x + m)}^2}}}{4} = 1\)

\(    \Leftrightarrow   13{x^2} + 18mx + 9{m^2} - 36 = 0 \,\,\,\,\,\,\,  (1)\)

\(D\) và \((E)\) có điểm chung khi và chỉ khi (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow   \Delta ' \ge 0\)

\( \Leftrightarrow   81{m^2} - 13(9{m^2} - 36) \ge 0  \)

\( \Leftrightarrow   {m^2} \le 13   \Leftrightarrow    - \sqrt {13}  \le m \le \sqrt {13} \).

Vậy với \( - \sqrt {13}  \le m \le \sqrt {13} \) thì \(d\) và \((E)\) có điểm chung.

c) (h.112). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua M, với vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow u (a ; b)\) có dạng:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = 1 + bt\end{array} \right. \,\,\,\,\,({a^2} + {b^2} \ne 0)\)

\(A, B  \in \Delta     \Rightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 1 + a{t_1}\\{y_A} = 1 + b{t_1}\end{array} \right.\)  và  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1 + a{t_2}\\{y_B} = 1 + b{t_2}\end{array} \right.\).

\(M\) là trung điểm của \(AB\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right.    \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}a({t_1} + {t_2}) = 0\\b({t_1} + {t_2}) = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow   {t_1} + {t_2} = 0              (1)  \)     (do \({a^2} + {b^2} \ne 0\)).

\(A, B  \in (E)\) suy ra \({t_1}, {t_2}\) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}4{(at + 1)^2} + 9{(bt + 1)^2} = 36   \\ \Leftrightarrow     (4 {a^2} + 9{b^2}){t^2} + (8a + 18b)t - 23 = 0.\\{t_1} + {t_2} = 0 \\   \Rightarrow    8a + 18b = 0  \\  \Leftrightarrow   4a + 9b = 0.\end{array}\)

Chọn \(a=9, b=-4,\) ta được phương trình của \(\Delta :  \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 9t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\) hay \(4x + 9y - 13 = 0\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan