Bài 65 trang 112 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho elip $(E)$ có phương trình $\dfrac{{{x^2}}}{9} +  \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$.

a) Tìm tịa độ các tiêu điểm, các đỉnh; tính tâm sai và vẽ elip $(E)$.

b) Xác định m để đường thẳng $d: y=x+m$ và $(E)$ có điểm chung.

c) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(1 ; 1)$ và cắt $(E)$ tại hai điểm $A, B$ sao cho $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

Giải

a) ${a^2} = 9   \Rightarrow   a = 3 ,$ ${b^2} = 4   \Rightarrow   b = 2 ,$ ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 5   \Rightarrow   c = \sqrt 5$.

Các tiêu điểm : ${F_1}( - \sqrt 5  ; 0) ,{F_2}(\sqrt 5  ; 0)$.

Các đỉnh: $( \pm 3 ; 0) ,  (0 ;  \pm 2)$.

Tâm sai : $e =  \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Elip được vẽ như hình 112.

b) Hoành độ giao điểm của $d$ và $(E)$ là nghiệm của phương trình:

$\dfrac{{{x^2}}}{9} +  \dfrac{{{{(x + m)}^2}}}{4} = 1$

$\Leftrightarrow   13{x^2} + 18mx + 9{m^2} - 36 = 0 \,\,\,\,\,\,\,  (1)$

$D$ và $(E)$ có điểm chung khi và chỉ khi (1) có nghiệm $\Leftrightarrow   \Delta ' \ge 0$

$\Leftrightarrow   81{m^2} - 13(9{m^2} - 36) \ge 0$

$\Leftrightarrow   {m^2} \le 13   \Leftrightarrow    - \sqrt {13}  \le m \le \sqrt {13}$.

Vậy với $- \sqrt {13}  \le m \le \sqrt {13}$ thì $d$ và $(E)$ có điểm chung.

c) (h.112). Đường thẳng $\Delta$ đi qua M, với vec tơ chỉ phương $\overrightarrow u (a ; b)$ có dạng:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + at\\y = 1 + bt\end{array} \right. \,\,\,\,\,({a^2} + {b^2} \ne 0)$

$A, B  \in \Delta     \Rightarrow    \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 1 + a{t_1}\\{y_A} = 1 + b{t_1}\end{array} \right.$  và  $\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 1 + a{t_2}\\{y_B} = 1 + b{t_2}\end{array} \right.$.

$M$ là trung điểm của $AB$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right.    \Leftrightarrow    \left\{ \begin{array}{l}a({t_1} + {t_2}) = 0\\b({t_1} + {t_2}) = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow   {t_1} + {t_2} = 0              (1)$     (do ${a^2} + {b^2} \ne 0$).

$A, B  \in (E)$ suy ra ${t_1}, {t_2}$ là nghiệm của phương trình:

$\begin{array}{l}4{(at + 1)^2} + 9{(bt + 1)^2} = 36   \\ \Leftrightarrow     (4 {a^2} + 9{b^2}){t^2} + (8a + 18b)t - 23 = 0.\\{t_1} + {t_2} = 0 \\   \Rightarrow    8a + 18b = 0  \\  \Leftrightarrow   4a + 9b = 0.\end{array}$

Chọn $a=9, b=-4,$ ta được phương trình của $\Delta :  \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 9t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.$ hay $4x + 9y - 13 = 0$.

Sachbaitap.com