Bài 47 trang 107 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho ba điểm \(A(-1 ; 0), B(2 ; 4), C(4 ; 1).\)

a) Chứng minh rằng tập hợp các điểm \(M\) thỏa mãn \(3M{A^2} + M{B^2} = 2M{C^2}\) là một đường tròn \((C)\). Tìm tọa độ tâm và bán kính của \((C)\).

b) Một đường thẳng \(\Delta \) thay đổi đi qua \(A\) cắt \((C)\) tại \(M\) và \(N\). Hãy viết phương trình của \(\Delta \) sao cho đoạn \(MN\) ngắn nhất.

Giải

a) Xét điểm \(M(x ; y)\). Biến đổi điều kiện \(3M{A^2} + M{B^2} = 2M{C^2}\)qua tọa độ ta được phương trình đường tròn cần tìm  \((C): {\left( {x +  \dfrac{9}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} =  \dfrac{{107}}{4}\), \((C)\) có tâm \(I\left( { -  \dfrac{9}{2} ; 1} \right)\), bán kính \(R =  \dfrac{{\sqrt {107} }}{2}\).

b) (h.104).

\(IA < R\) nên \(A\) trong \((C)\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(MN\) thì \(IH \bot MN\).

\(MN = 2MH = 2\sqrt {{R^2} - I{H^2}} \).

Do đó \(MN\) min \( \Leftrightarrow IH\) max.

Ta luôn có \(IH \le IA\). Vậy \(IH\) max  \( \Leftrightarrow   H \equiv A\), tức là \(\overrightarrow {IA}  = \left( { \dfrac{7}{2} ;  - 1} \right)\) là  một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm. Từ đó suy ra phương trình của \(\Delta \) là \(7x - 2y + 7 = 0\).

Sachbaitap.com