Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 4.7 trang 126 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Bình chọn:
4 trên 2 phiếu

Cho dãy số

Cho dãy số 

\(\left( {{u_n}} \right):\left\{ \matrix{
{u_1} = 0 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{2{u_n} + 3} \over {{u_n} + 4}}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

a)      Lập dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = {{{u_n} - 1} \over {{u_n} + 3}}\). Chứng minh dãy số là cấp số nhân.

b)      Tìm công thức tính \({x_n},{u_n}\) theo n.

Giải:

Từ giả thiết có

\({u_{n + 1}}\left( {{u_n} + 4} \right) = 2{u_n} + 3\) hay \({u_{n + 1}}.{u_n} + 4{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\)   (1)

Lập tỉ số \({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{{u_{n + 1}} - 1} \over {{u_{n + 1}} + 3}}.{{{u_n} + 3} \over {{u_n} - 1}} = {{{u_{n + 1}}{u_n} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3} \over {{u_{n + 1}}{u_n} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}}\)    (2)

Từ (1) suy ra \({u_{n + 1}}.{u_n} = 2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}}\) thay vào (2) ta được

\({{{x_{n + 1}}} \over {{x_n}}} = {{2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} + 3{u_{n + 1}} - {u_n} - 3} \over {2{u_n} + 3 - 4{u_{n + 1}} - {u_{n + 1}} + 3{u_n} - 3}} = {{{u_n} - {u_{n + 1}}} \over {5\left( {{u_n} - {u_{n + 1}}} \right)}} = {1 \over 5}\)

Vậy \({x_{n + 1}} = {1 \over 5}{x_n}\) ta có cấp số nhân \(\left( {{x_n}} \right)\) với \(q = {1 \over 5}\) và \({x_1} =  - {1 \over 3}\)

Ta có \({x_n} =  - {1 \over 3}{\left( {{1 \over 5}} \right)^{n - 1}}\)

Từ đó tìm được \({u_n} = {{3{x_n} - 1} \over {1 - {x_n}}} = {{ - {{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n - 1}} - 1} \over {1 + {1 \over 3}{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n - 1}}}} = {{{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n - 1}} + 1} \over {{1 \over 3}{{\left( {{1 \over 5}} \right)}^{n - 1}} + 1}}\)

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 - Xem ngay

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Bài viết liên quan