Bài 47 trang 13 SBT Hình học 10 Nâng cao

Xét trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Cho các vec tơ \(\overrightarrow a (1\,;\,2)\,,\,\,\overrightarrow b ( - 3\,;\,1)\,,\,\,\overrightarrow c ( - 4\,;\, - 2)\).

a) Tìm tọa độ của các vectơ

\(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c;\)

\(\overrightarrow v  =  - \overrightarrow a  + {1 \over 3}\overrightarrow b  - {1 \over 2}\overrightarrow c ;\)

\(\overrightarrow w  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  + 4\overrightarrow c; \)

và xem vec tơ nào trong các vec tơ đó cùng phương với vec tơ \(\overrightarrow i \), cùng  phương với vec tơ \(\overrightarrow j \).

b) Tìm các số \(m, n\) sao cho \(\overrightarrow a  = m\overrightarrow b  + n\overrightarrow c \).

Giải

a) Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b  + \overrightarrow c \\ = (2.1 - 3.( - 3) + ( - 4);\\2.2 - 3.1 + ( - 2)) = (7\,;\, - 1).\\\overrightarrow v  =  - \overrightarrow a  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow b  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow c \\ = ( - 1 + \dfrac{1}{3}.( - 3) - \dfrac{1}{2}.( - 4);\\ - 2 + \dfrac{1}{3}.1 - \dfrac{1}{2}.( - 2)) = \left( {0\,; - \dfrac{2}{3}\,} \right).\\\overrightarrow w  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  + 4\overrightarrow c  = ( - 19\,;\,0).\end{array}\)

Hai vectơ \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow j \) cùng phương, hai vectơ \(\overrightarrow w \) và \(\overrightarrow i \)cùng phương.  

b) Ta có

\(\overrightarrow a  = m\overrightarrow b  + n\overrightarrow c \\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l} - 3m - 4n = 1\\m - 2n = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{3}{5}\\n =  - \dfrac{7}{{10}}\end{array} \right.\)

Sachbaitap.com