Bài 5.7 trang 220 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \({e^x} + \cos x \ge 2 + x - {{{x^2}} \over 2},\forall x \in R\)

b) \({e^x} - {e^{ - x}} \ge 2\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} ),\forall x \ge 0\)

c) \(8{\sin ^2}{x \over 2} + \sin 2x > 2x,\forall x \in (0;\pi {\rm{]}}\)

Hướng dẫn làm bài

a) Xét hàm số \(f(x) = {e^x} + \cos x - 2 - x + {{{x^2}} \over 2}\)  , có tập xác định là R.

          \(f'(x) = {e^x} - \sin x - 1 + x;f'(x) = 0  \Leftrightarrow x = 0\)               

Ta lại có  \(f''(x) = {e^x} + 1 - \cos x > 0,\forall x\)  vì \(1 - \cos x \ge 0\)  và \({e^x} > 0\)

Như vậy, f’(x) đồng biến trên R. Từ đó: \(f'(x) < f'(0) = 0,\forall x < 0;f'(x) > f'(0) = 0,\forall x > 0\)

Ta có bảng biến thiên

Hàm số \(f(x) = {e^x} + \cos x - 2 - x + {{{x^2}} \over 2} \ge {f_{CT}} = f(0) = 0,\forall x \in R\)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

b) \(\forall x \ge 0\)  xét hàm số \(f(x) = {e^x} - {e^{ - x}} - 2\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) , ta có

                \(f'(x) = {e^x} + {e^{ - x}} - {2 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}\)       ;

Từ đó f ‘(x) > 0 với mọi x > 0  (vì \({e^x} + {e^{ - x}} > 2\) và \({2 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }} < 2\) ) và \(f ‘(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy f(x) đồng biến trên \({\rm{[}}0; + \infty )\) , tức là:

      \(f(x) \ge f(0) = {e^0} - {e^0} - 2\ln 1 = 0\)  

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

c) Xét hàm số  \(f(x) = 8{\sin ^2}{x \over 2} + \sin 2x - 2x,\forall x \in (0;\pi {\rm{]}}\)

      \(f'(x) = 4\sin x + 2\cos 2x - 2 = 4\sin x(1 - \sin x)\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 2}} \cr {x = \pi } \cr} } \right.\)           

Với  \(x \in (0;\pi {\rm{]}}\) ta có \(f'(x) \ge 0\)  và dấu bằng chỉ xảy ra tại hai điểm.

Vậy f(x) đồng biến trên nửa \((0;\pi {\rm{]}}\). Mặt khác, f(0) = 0 nên f(x) > 0.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Sachbaitap.com