Bài 5.8 trang 220 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau trên các khoảng, đoạn tương ứng:

a) g(x) = |x³ + 3x² – 72x + 90| trên đoạn [-5; 5]

b) f(x) = x⁴ – 4x² + 1 trên đoạn [-1; 2]

c) f(x) = x – ln x + 3 trên khoảng \((0; + \infty )\)

Hướng dẫn làm bài

a) Xét hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 72x + 90\)  trên đoạn [-5; 5]

\(f'(x) = 3{x^2} + 6x - 72;f'(x) = 0\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 4} \cr {x = - 6 \notin {\rm{[}} - 5;5]} \cr} } \right.\)

\(f( - 5) = 400;f(5) =  - 70;f(4) =  - 86\)

Ngoài ra, f(x) liên tục trên đoạn [-5; 5] và \(f( - 5).f(5) < 0\) nên tồn tại \({x_0} \in ( - 5;5)\) sao cho \(f({x_0}) = 0\)

Ta có \(g(x) = |f(x)| \ge 0\) và \(g({x_0}) = |f({x_0})| = 0;g( - 5) = |400| = 400\);

 \(g(5) = |-70| = 70 ; g(4) = |f(4)| = |-86| = 86\)

Vậy \(\mathop {\min g(x)}\limits_{{\rm{[}} - 5;5]}  = g({x_0}) = 0;\mathop {{\rm{max }}g(x)}\limits_{{\rm{[}} - 5;5]}  = g( - 5) = 400\)

b)  \(\mathop {\min f(x)}\limits_{{\rm{[}} - 1;2]}  = f(\sqrt 2 ) =  - 3;\mathop {{\rm{max f}}(x)}\limits_{{\rm{[}} - 1;2]}  = f(2) = f(0) = 1\)

c) \(\mathop {\min f(x)}\limits_{(0; + \infty )}  = f(1) = 4\) . Không có giá trị lớn nhất.

Sachbaitap.com