Bài 5.7 trang 76 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Trong kì kiểm tra chất lượng ở hai khối lớp, mỗi khối có 25% học sinh trượt Toán, 15% trượt Lí và 10% trượt Hoá. Từ mỗi khối chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất sao cho

a)      Hai học sinh đó trượt Toán ;

b)      Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nàođó ;

c)      Hai học sinh đó không bị trượt môn nào ;

d)     Có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một môn.

Giải :

Kí hiệu \({A_1},{A_2},{A_3}\) lần lượt là các biến cố : Học sinh được chọn từ khối I trượt Toán, Lí, Hoá : \({B_1},{B_2},{B_3}\) lần lượt là các biến cố : Học sinh được chọn từ khối II trượt Toán, Lí, Hoá. Rõ ràng với mọi (i,j), các biến cố A_i và B_i độc lập.

a)      Ta có \(P\left( {{A_1}{B_1}} \right) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_1}} \right) = {1 \over 4}.{1 \over 4} = {1 \over {16}}\)

b)      Xác suất cần tính là 

\(\eqalign{
& P\left( {\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_2}} \right) \cap \left( {{B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}} \right)} \right) \cr
& = P\left( {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_2}} \right).P\left( {{B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}} \right) \cr
& = {1 \over 2}.{1 \over 2} = {1 \over 4} \cr} \)

c)      Đặt \(A = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3},B = {B_1} \cup {B_2} \cup {B_3}\)

Cần tính \(P\left( {\overline A  \cap \overline B } \right)\) Do \(\overline A \) và \(\overline B \) độc lập, ta có

\(\eqalign{
& P\left( {\overline A \cap \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right) \cr
& = {\left[ {1 - P\left( A \right)} \right]^2} = {\left( {{1 \over 2}} \right)^2} = {1 \over 4}. \cr} \)

d)     Cần tính \(P\left( {A \cup B} \right)\)

Ta có

\(\eqalign{
& P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) \cr
& = {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 4} = {3 \over 4}. \cr} \)