Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 62 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
3.7 trên 3 phiếu

Giải bài tập Bài 62 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Tìm quỹ tích những điểm có tổng bình phương các khoảng cách đến bốn đỉnh của một tứ giác bằng \(k^2\) không đổi.

Giải

 

Xét tứ giác \(ABCD\). Gọi \(I, J\) lần lượ là trung điểm của \(AB, CD\) và \(G\) là trung điểm cùa \(IJ\) (h.56). Với mỗi điểm \(M,\) ta đều có:

\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\\ = 2M{I^2} + \dfrac{{A{B^2}}}{2} + 2M{J^2} + \dfrac{{C{D^2}}}{2}\\= 2\left( {2M{G^2} + \dfrac{{I{J^2}}}{2}} \right) + \dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2}\\= 4M{G^2} + \dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}.\end{array}\)

Từ đó suy ra

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\)

\(= {k^2} \Leftrightarrow   4M{G^2}\)

\(= {k^2} - \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right)\) không đổi.

Từ đó ta có:

Nếu \({k^2} - \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right) > 0\) thì quỹ tích điểm M là đường tròn tâm G, bán kính \(r = \sqrt {\dfrac{{{k^2} - \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right)}}{4}} \).

Nếu \({k^2} = \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right)\) thì quỹ tích điểm M là một điểm G.

Nếu \({k^2} - \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right) < 0\) thì qỹ tích điểm M là tập rỗng.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan