Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 64 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

Giải bài tập Bài 64 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Chứng minh rằng khoảng cách d từ trọng tâm tam giác \(ABC\) đến tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó thỏa mãn hệ thức:

\({R^2} - {d^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{9}.\)

Giải

Giả sử tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) và có trọng tâm \(G\). Ta có

\(\begin{array}{l}{\overrightarrow {OA} ^2} + {\overrightarrow {OB} ^2} + {\overrightarrow {OC} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {GA}  - \overrightarrow {GO} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GO} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {GC}  - \overrightarrow {GO} } \right)^2}\\                                        = {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2} - 2\overrightarrow {GO} \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + 3{\overrightarrow {GO} ^2}\end{array}\)

Do \(OA=OB=OC=R\) và \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \) nên \(3{R^2} = G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + 3{d^2}\).

Mặt khác

\(\begin{array}{l}G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} \\= \dfrac{4}{9}\left( {m_a^2 + m_b^2 + m_c^2} \right)\\= \dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \right)\\= \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}\end{array}\)

Do đó \(3{R^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} + 3{d^2}\), suy ra  \({R^2} - {d^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{9}\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan