Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 67 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 67 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao

Kẻ các đường cao \(AA’, BB’, CC’\) của tam giác nhọn \(ABC.\)

a) Chứng minh rằng \(B'C' = 2R\sin A\cos A\).

b) Lấy \(A_1, A_2\) lần lượt là điểm đối xứng với \(A’\) qua \(AB, AC\). Chứng minh rằng chu vi tam giác \(A’B’C’\) bằng độ dài đoạn thẳng \(A_1A_2\).

c) Chứng minh hệ thức:

\(\sin A\cos A + \sin B\cos B + \sin C\cos C \)

\(= 2\sin A\sin B\sin C\).

Giải

(h.60).

 

a) Ta có

\(AB’=AB\cos A=2R \sin C \cos A.\)

Trong tam giác \(AB’C’\) có \(\dfrac{{B'C'}}{{\sin A}} = \dfrac{{AB'}}{{\sin C'}}\).

Nhưng \(\widehat {AC'B'} = \widehat C\) (do \(BC’B’C\) là tứ giác nội tiếp), suy ra \(\dfrac{{B'C'}}{{\sin A}} = \dfrac{{AB'}}{{\sin C}}\).

Từ đó suy ra

\(B'C' = \dfrac{{AB'\sin A}}{{\sin C'}}\)

\(= \dfrac{{2R\sin C\cos A\sin A}}{{\sin C}}\)

\(= 2R\sin A\cos A\).

b) Ta có \(\widehat {{A_1}C'B} = \widehat {BC'A'}\) (do \(A_1, A’\) đối xứng với nhau qua \(AB\)).

\(\widehat {BC'A'} = \widehat {AC'B'}\) (do \(AC’A’C\) và \(BC’B’C\) cùng là tứ giác nội tiếp).

Suy ra \(\widehat {{A_1}C'B} = \widehat {B'C'A}\). Vậy \(A_1, C’, B’\) thẳng hàng và \(A_1C’=A’C’.\)

Tương tự cũng có \(C’, B’, A_2\) thẳng hàng và \(B’A_2=B’A’.\)

Do đó, chu vi tam giác \(A’B’C’\) bằng

\(A’C’+C’B’+B’A’\)

\(=A_1C’+C’B’+B’A_2=A_1A_2\).

c) Do \(A_1\) và \(A’\) đối xứng nhau qua \(AB\) nên \(A{A_1} = AA' ,  \widehat {{A_1}AB} = \widehat {BAA'}\); \(A_2\) và \(A’\) đối xứng nhau qua \(AC\) nên \(A{A_2} = AA' ,  \widehat {A'AC} = \widehat {CA{A_2}}\). Do đó tam  giác \(AA_1A_2\)là tam giác cân có góc ở đỉnh \(\widehat {{A_1}A{A_2}} = 2\widehat A\). Kẻ \(AK\) vuông góc với \(A_1A_2\), ta có

\(A_1A_2=2A_1K\)

\(=2AA_1 \sin A=2AA’\sin A\)

\(=2AB\sin B\sin A\)

\(=4R\sin C\sin B\sin A.\)

Mặt khác theo câu a), ta có

\(B’C’+B’A’+A’C’\)

\(=2R \sin A \cos A+2R \sin C \cos C\)\(+2R \sin B \cos B.\)

Từ đó suy ra hệ thức cần chứng minh.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan