Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 71 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 71 trang 49 SBT Hình học 10 Nâng cao

a) Chứng minh rằng nếu \(\alpha \) là góc nhọn thì \(\cos (\alpha  + {90^0}) =  - \sin \alpha \).

b) Cho tam giác nhọn \(ABC\) có các cạnh \(a, b, c\) và diện tích \(S\). Trên ba cạnh và về phía ngoài của tam giác đó dựng các tam giác vuông cân \(A’BC, B’AC, C’AB\) (\(A’, B’, C’\) lần lượt là đỉnh). Chứng minh rằng:

\(A’B’^2+B’C’^2+C’A’^2\) \(=a^2+b^2+c^2+6S.\)

Giải

(h.64).

 

a) Ta có

\(\cos \left( {\alpha  + {{90}^0}} \right)\)

\(=  - \cos \left[ {{{180}^0} - (\alpha  + {{90}^0})} \right] \)

\(=  - \cos ({90^0} - \alpha ) =  - \sin \alpha \).

b) Dễ thấy \(AB' = \dfrac{{b\sqrt 2 }}{2} ; \)\( AC' = \dfrac{{c\sqrt 2 }}{2}  ;\) \(  \widehat {B'AC'} = \widehat A + {90^0}\).

Trong tam giác \(AB’C’\) ta có

\(\begin{array}{l}B'C{'^2} = AB{'^2} + AC{'^2} - 2AB'.AC'.\cos \widehat {B'AC'}\\ = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + bc\sin A\\= \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} + 2S.\end{array}\)

Tương tự, \(C'A{'^2} = \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} + 2S  ;\) \(  A'B{'^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + 2S\).

Từ đó suy ra \(A'B{'^2} + B'C{'^2} + C'A{'^2}\) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 6S\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan