Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 75 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 75 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho tam giác \(ABC\) có bán kính đường tròn nội tiếp bằng \(r\) và các bán kính đường tròn bàng tiếp các góc \(A, B, C\) tương ứng bằng \(r_a, r_b, r_c\).

Chứng minh rằng nếu \(r = {r_a} - {r_b} - {r_c}\) thì góc \(A\) là góc vuông.

Giải

Từ bài 74 chương II, ta suy ra \({r_a} = \dfrac{S}{{p - a}},\) tương tự \({r_b} = \dfrac{S}{{p - b}} ;  {r_c} = \dfrac{S}{{p - c}}\).

Mặt khác, từ công thức tính diện tích ta có \(r = \dfrac{S}{p}\).

Từ giả thiết suy ra:

\(\dfrac{1}{{p - a}} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{{p - b}} + \dfrac{1}{{p - c}}\)

\(\Rightarrow   \dfrac{a}{{p(p - a)}} = \dfrac{{2p - (b + c)}}{{(p - b)(p - c)}}\).

Vì \(2p - (b + c) = a\), suy ra \(p(p - a) = (p - b)(p - c)\).

\(\begin{array}{l}pa = p(b + c)  - bc  \\\Rightarrow   bc = p(b + c - a) \\= \dfrac{{b + c + a}}{2}.(b + c - a)\\\Rightarrow   2bc = {(b + c)^2} - {a^2}\\\Rightarrow   {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0\\\Rightarrow  {b^2} + {c^2} = {a^2}.\end{array}\)

Theo định lí Py-ta-go ta có \(\widehat A = {90^0}\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan