Bài 75 trang 50 SBT Hình học 10 Nâng cao

Cho tam giác \(ABC\) có bán kính đường tròn nội tiếp bằng \(r\) và các bán kính đường tròn bàng tiếp các góc \(A, B, C\) tương ứng bằng \(r_a, r_b, r_c\).

Chứng minh rằng nếu \(r = {r_a} - {r_b} - {r_c}\) thì góc \(A\) là góc vuông.

Giải

Từ bài 74 chương II, ta suy ra \({r_a} = \dfrac{S}{{p - a}},\) tương tự \({r_b} = \dfrac{S}{{p - b}} ;  {r_c} = \dfrac{S}{{p - c}}\).

Mặt khác, từ công thức tính diện tích ta có \(r = \dfrac{S}{p}\).

Từ giả thiết suy ra:

\(\dfrac{1}{{p - a}} - \dfrac{1}{p} = \dfrac{1}{{p - b}} + \dfrac{1}{{p - c}}\)

\(\Rightarrow   \dfrac{a}{{p(p - a)}} = \dfrac{{2p - (b + c)}}{{(p - b)(p - c)}}\).

Vì \(2p - (b + c) = a\), suy ra \(p(p - a) = (p - b)(p - c)\).

\(\begin{array}{l}pa = p(b + c)  - bc  \\\Rightarrow   bc = p(b + c - a) \\= \dfrac{{b + c + a}}{2}.(b + c - a)\\\Rightarrow   2bc = {(b + c)^2} - {a^2}\\\Rightarrow   {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0\\\Rightarrow  {b^2} + {c^2} = {a^2}.\end{array}\)

Theo định lí Py-ta-go ta có \(\widehat A = {90^0}\).

Sachbaitap.com