Cho tam giác cân có cạnh bên bằng b nội tiếp trong đường tròn (O;R).
a) Tính cosin của các góc của tam giác.
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
c) Với giá trị nào của b thì tam giác đó có diện tích lớn nhất ?
Giải
(h.66)
a) Giả sử tam giác đã cho là ABC có AB=AC=b.
Đặt ˆB=ˆC=α thì α<900.
Ta có sinα=b2R nên cosB=cosC=√1−b24R2=√4R2−b22R.
Ta lại có
cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=2b2−4b2cos2α2b2=1−2cos2α=1−2(1−b24R2)=b2−2R22R2.
b) Diện tích tam giác là
S=12BC.AH=122bcosα.bsinα
=b2cosαsinα=b3√4R2−b24R2.
Chu vi tam giác là 2p=2b+2b√4R2−b22R.
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là r=Sp=b2√4R2−b22R(2R+√4R2−b2).
c) Ta phải tìm b để y=b3√4R2−b2 đạt giá trị lớn nhất.
Viết lại y=3√3√b23.b23.b23(4R2−b2). Khi đó coi biểu thức trong căn là tích của bốn thừa số mà tổng của chúng bằng 4R2 không đổi nên y đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi b23=4R2−b2 hay b=R√3.
Khi đó sinα=R√32R=√32⇒α=600, ta được tam giác ABC là tam gác đều.
Sachbaitap.com
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục