Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 65 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Bài 65 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao

Chứng minh rằng trong mỗi tam giác, khoảng cách d từ tâm đường tròn nội tiếp đến tâm đường tròn ngoại tiếp thỏa mãn hệ thức:

\({d^2} = {R^2} - 2Rr\).  ( Hệ thức Ơ-le)

Giải

(h.58).

 

Xét tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn \((O ; R)\) và ngoại tiếp đường tròn \((I ; r)\).

Gọi \(D, E\) lần lượt là điểm chính giữa cung \(\stackrel\frown {BC}\) và cung \(\stackrel\frown {AC}\) thì \(OD \bot BC ,  \widehat {BAD} = \dfrac{{\widehat A}}{2}\).

Mặt khác , ta có

\(\widehat {BID} = \dfrac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown {BD}\) +sđ \(\stackrel\frown {AE}\)) \)

\(= \dfrac{1}{2}\)(sđ \(\stackrel\frown {DC}\) + sđ \(\stackrel\frown {EC}\)) = \(\dfrac{1}{2}\)(sđ\(\stackrel\frown {DCE}\) ).

Vậy \(\widehat {BID} = \widehat {IBD}\), suy ra \(ID = BD = 2R\sin \dfrac{A}{2}\).

Trong tam giác OID ta có \(O{I^2} = I{D^2} + O{D^2} - 2\overrightarrow {DI} .\overrightarrow {DO} \).\( \Rightarrow   O{I^2} = 4R{\sin ^2}\dfrac{A}{2} + {R^2} - 2\overrightarrow {DO} .\overrightarrow {DH} \)    (với \(IH \bot OD\)).

Dễ thấy

\(\overrightarrow {DO} .\overrightarrow {DH}  = DO.(DJ + JH)\)

\(= R\left( {BD\sin \dfrac{A}{2} + r} \right) \)

\(= R\left( {2R{{\sin }^2}\dfrac{A}{2} + r} \right)\)

\(= 2{R^2}{\sin ^2}\dfrac{A}{2} + Rr\).

Từ đó suy ra \({d^2} = {R^2} - Rr\).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan