Câu 100 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.

Hướng dẫn: Từ I kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.

Giải

Kẻ: \(I{\rm{D}} \bot AB,IE \bot BC,{\rm{IF}} \bot {\rm{A}}C\)

Xét hai tam giác vuông IDB và IEB, ta có:

\(\eqalign{
& \widehat {I{\rm{D}}B} = \widehat {IEB} = 90^\circ \cr
& \widehat {DBI} = \widehat {EBI}\left( {gt} \right) \cr} \)

BI cạnh huyền chung

\( \Rightarrow \) ∆IDB = ∆IEB (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng)       (1)

Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có ;

\(\eqalign{
& \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \cr
& \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \cr} \)

CI canh huyền chung

Suy ra:  ∆ IEC = ∆IFC (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF

Xét hai tam giác vuông IDA và IFA, ta có:

            \(\widehat {I{\rm{D}}A} = \widehat {IFA} = 90^\circ \)

            ID = IF (chứng minh trên)

            AI cạnh huyền chung

Suy ra: ∆IDA = ∆IFA (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat {DAI} = \widehat {FAI}\) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat A\)

Sachbaitap.com