Câu 102 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải các bất phương trình sau :

a. \(\left| {\dfrac{{3x + 1}}{{x - 3}}} \right| < 3\)

b. \(\dfrac{{\left| {x + 2} \right| - \left| x \right|}}{{\sqrt {4 - {x^3}} }} > 0\)

c. \(\dfrac{3}{{\left| {x + 3} \right| - 1}} \ge \left| {x + 2} \right|\)

d. \(\dfrac{9}{{\left| {x - 5} \right| - 3}} \ge \left| {x - 2} \right|\)

Giải:

a. \(x < \dfrac{4}{3}.\)

b. \(x \in \left( { - 1;\sqrt[3]{4}} \right).\)

c. Điều kiện \(\left| {x + 3} \right| \ne 1 \Leftrightarrow x + 3 \ne 1\) và \(x + 3 \ne  - 1\) hay \(x \ne  - 2\) và \(x \ne  - 4.\)

* Nếu \(x < -3\), bất phương trình đã cho tương đương với

\(\eqalign{& {3 \over { - x - 3 - 1}} \ge - x - 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 4}} \le x + 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 4}} - \left( {x + 2} \right) \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{3 - \left( {{x^2} + 6x + 8} \right)} \over {x + 4}} \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{ - {x^2} - 6x - 5} \over {x + 4}} \le 0 \cr & \Leftrightarrow {{{x^2} + 6x + 5} \over {x + 4}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow x \in \left[ { - 5; - 4} \right). \cr} \)

* Nếu \(-3 ≤ x < -2\), bất phương trình đã cho tương đương với

\(\eqalign{& {3 \over {x + 2}} \ge - x - 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 2}} + x + 2 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{3 + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} \over {x + 2}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow x \ge - 2. \cr} \)

Không có x thỏa mãn yêu cầu điều kiện \(-3 ≤ x < -2.\)

* Nếu \(x > -2\), bất phương trình đã cho tương đương với

\(\eqalign{& {3 \over {x + 2}} \ge x + 2 \cr & \Leftrightarrow {3 \over {x + 2}} - \left( {x + 2} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow 3 - {\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 - x - 2} \right)\left( {\sqrt 3 + x + 2} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow - 2 - \sqrt 3 \le x \le 2 - \sqrt 3 . \cr} \)

Vậy \( - 2 < x \le 2 - \sqrt 3 .\)

Kết luận. \(x \in \left[ { - 5; - 4} \right) \cup \left( { - 2;2 - \sqrt 3 } \right].\)

d. Nếu \(x < 2\) bất phương trình đã cho tương đương với

\(\eqalign{& {9 \over {5 - x - 3}} \ge - x + 2 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {2 - x}} + x - 2 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{5 - {x^2} + 4x} \over {2 - x}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow x \le - 1. \cr} \)

Nếu \(2 ≤ x < 5\) bất phương trình đã cho tương đương với

\(\eqalign{& {9 \over {5 - x - 3}} \ge x - 2 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {2 - x}} + 2 - x \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{9 + {{\left( {2 - x} \right)}^2}} \over {2 - x}} \ge 0 \cr} \)

Vậy \(2 < x < 5\).

Nếu \(x > 5\) bất phương trình đã cho tương đương

\(\eqalign{& {9 \over {x - 5 - 3}} \ge x - 2 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {x - 8}} \ge x - 2 \cr & \Leftrightarrow {9 \over {x - 8}} - \left( {x - 2} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{9 - \left( {{x^2} - 10x + 16} \right)} \over {x - 8}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{ - {x^2} + 10x - 7} \over {x - 8}} \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {{{x^2} - 10x + 7} \over {x - 8}} \le 0 \cr} \)

Vậy \(8 < x \le 5 + \sqrt {18} .\)

Kết luận \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup\)\( \left( {2;5} \right) \cup \left( {8;5 + \sqrt {18} } \right].\)

Sachbaitap.com