Câu 111 trang 94 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA . Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?

Giải:                                                                      

Trong ∆ ABC ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

nên EF là đường trung bình của ∆ ABC

⇒ EF // AC và EF \( = {1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong ∆ DAC ta có:

H là trung điểm của AD (gt)

G là trung điểm của DC (gt)

nên HG là đường trung bình của ∆ DAC.

⇒ HG // AC và HG \( = {1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra: Tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Ta lại có: BD ⊥ AC (gt)

                  EF // AC ( chứng minh trên)

Suy ra: EF ⊥ BD

Trong ∆ ABD ta có EH là đường trung bình ⇒ EH // BD

Suy ra: EF ⊥ EH hay \(\widehat {FEH} = {90^0}\)

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Sachbaitap.com