Câu 6.2 trang 93 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và AC = 2.AB.

a. Vẽ trung tuyến BE của tam giác ABO. Chứng minh rằng \(\widehat {ABE} = \widehat {ACB}\).

b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, chứng minh rằng EM vuông góc với đường chéo BD.

Giải: 

a. Vì ABCD là hình bình hành và E là trung điểm của AO (vì BE là trung tuyến của tam giác ABO) nên ta có:

\(\eqalign{  & AO = CO = {1 \over 2}AC;  \cr  & AE = {1 \over 2}AO. \cr} \)

Mặt khác, theo giả thiết AC = 2AB nên dễ thấy AB = AO và do đó \(AE = {1 \over 2}AB\)

Xét hai tam giác AEB và ABC, ta có:

Góc A chung

\({{AE} \over {AB}} = {{AB} \over {AC}} = {1 \over 2}\)

Vậy ∆ AEB đồng dạng ∆ ABC (c.g.c)

Suy ra: hai góc tương ứng bằng nhau \(\widehat {ABE} = \widehat {ACB}\) (đpcm)

b. Theo chứng minh ở câu a. ∆ AEB đồng dạng ∆ ABC theo tỉ số k = \({1 \over 2}\) nên dễ thấy \(BE = {1 \over 2}BC\)  hay BE = BM

Suy ra: ∆ BEM cân tại B.

Xét tam giác EBC có:

\({{BE} \over {BC}} = {{OE} \over {OC}} = {1 \over 2}\)

Suy ra: OB là đường phân giác góc EBC

BO là đường phân giác góc B đỉnh của tam giác cân BEM nên BO vuông góc với cạnh đáy EM (đpcm).

Sachbaitap.com