Hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và AC = 2.AB.
a. Vẽ trung tuyến BE của tam giác ABO. Chứng minh rằng \(\widehat {ABE} = \widehat {ACB}\).
b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, chứng minh rằng EM vuông góc với đường chéo BD.
Giải:
a. Vì ABCD là hình bình hành và E là trung điểm của AO (vì BE là trung tuyến của tam giác ABO) nên ta có:
\(\eqalign{ & AO = CO = {1 \over 2}AC; \cr & AE = {1 \over 2}AO. \cr} \)
Mặt khác, theo giả thiết AC = 2AB nên dễ thấy AB = AO và do đó \(AE = {1 \over 2}AB\)
Xét hai tam giác AEB và ABC, ta có:
Góc A chung
\({{AE} \over {AB}} = {{AB} \over {AC}} = {1 \over 2}\)
Vậy ∆ AEB đồng dạng ∆ ABC (c.g.c)
Suy ra: hai góc tương ứng bằng nhau \(\widehat {ABE} = \widehat {ACB}\) (đpcm)
b. Theo chứng minh ở câu a. ∆ AEB đồng dạng ∆ ABC theo tỉ số k = \({1 \over 2}\) nên dễ thấy \(BE = {1 \over 2}BC\) hay BE = BM
Suy ra: ∆ BEM cân tại B.
Xét tam giác EBC có:
\({{BE} \over {BC}} = {{OE} \over {OC}} = {1 \over 2}\)
Suy ra: OB là đường phân giác góc EBC
BO là đường phân giác góc B đỉnh của tam giác cân BEM nên BO vuông góc với cạnh đáy EM (đpcm).
Sachbaitap.com
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục