Loigiaihay.com 2021

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 1.20 trang 10 SBT Đại số 10 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 1.20 trang 10 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho các mệnh đề chứa biến \(P(n)\) : “\(n\) chia hết cho 5” ; \(Q(n)\) : “\({n^2}\)  chia hết cho 5” và \(R(n)\) : \({n^2} + 1\) và \({n^2} - 1\) đều không chia hết cho 5”

Sử đụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu và chứng minh các định lí dưới đây:

a. \(\forall n \in N,P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left( n \right)\)  

b. \(\forall n \in N,P\left( n \right) \Leftrightarrow Q\left( n \right)\)  

Giải:

a. Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên \(n\) chia hết cho 5 là \({n^2}\)  chia hết cho 5”

Chứng minh : Nếu \(n = 5k\left( {k \in N} \right)\)  thì \({n^2} = 25{k^2}\)  chia hết cho 5. Ngược lại, giả sử \(n = 5k + r\) với \(r = 0, 1, 2, 3, 4\). Khi đó \({n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\)  chia hết cho 5 nên \({r^2}\)  phải chia hết cho 5. Thử vào với \(r = 0, 1, 2, 3, 4\), ta thấy chỉ có với \(r = 0\) thì \({r^2}\)  mới chia hết cho 5. Do đó \(n = 5k\) tức là n chia hết cho 5.

b. Phát biểu như sau : “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 5 là cả \({n^2} - 1\,va\,{n^2} + 1\)  đều không chia hết cho 5”.

Chứng minh. Nếu n chia hết cho 5 thì \({n^2} - 1\)  chia cho 5 dư 4 và \({n^2} + 1\)  chia 5 dư 1. Đảo lại, giả sử \({n^2} - 1\) và \({n^2} + 1\)  đều không chia hết cho 5. Gọi \(r\) là số dư khi chia \(n\) cho 5 (\(r = 0, 1, 2, 3, 4\)). Ta có \(n = 5k + r\left( {k \in N} \right)\). Vì \({n^2} = 25{k^2} + 10kr + {r^2}\)  nên suy ra cả \({r^2} - 1\) và \({r^2} + 1\)  đều không chia hết cho 5. Với \(r = 1\) thì \({r^2} - 1 = 0\)  chia hết cho 5. Với \(r = 2\) thì \({r^2} + 1 = 5\)  chia hết cho 5. Với \(r = 3\) thì \({r^2} + 1 = 10\)  chia hết cho 5. Với \(r = 4\) thì \({r^2} - 1 = 15\)  chia hết cho 5. Vậy chỉ có thể \(r = 0\) tức là \(n = 5k\) hay \(n\) chia hết cho 5.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Bài viết liên quan