Câu 1.26 trang 14 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình 1.3) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của một hình quạt còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của hình quạt tròn dùng làm phễu (h.1.3), \(0 < x < 2\pi \)

a) Hãy biểu diễn hán kính r của hình tròn đáy và đường cao h của hình nón theo R và x.

b) Tính thể tích hình nón theo R và x.

c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.

Giải

a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài \(\overparen{AB}\) của quạt tròn dùng làm phễu, nên ta có

                    \(2\pi r = Rx\)

Do đó

                     \(r = {{Rx} \over {2\pi }}\)

và \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt {{R^2} - {{{R^2}{x^2}} \over {4{\pi ^2}}}}  = {R \over {2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \)

b) Thể tích hình nón là

                                \(V = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {{{R^3}} \over {24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} ,0 < x < 2\pi \)

c) Ta tìm \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\) sao cho tại đó V đạt giá trị lớn nhất

                                \(V' = {{{R^3}} \over {24{\pi ^2}}}.{{x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)} \over {\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\)

Với \(0 < x < 2\pi \), ta có

\(V' = 0 \Leftrightarrow 8{\pi ^2} - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = {{2\sqrt 6 } \over 3}\pi \approx 1,63\pi \)

Hình nón có thể tích lớn nhất khi \(x = {{2\sqrt 6\pi } \over 3} \approx 1,63\pi \)

\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left( {0;2\pi } \right)} V = V({{2\sqrt 6 \pi} \over 3}) = {{2\sqrt 3 } \over {27}}\pi {R^3}\)

Sacbaitap.com