Câu 1.47 trang 13 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Kí hiệu |A| là số phần tử của tập hợp A.

a. Chứng minh rằng nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì \(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right|\)

b. Chứng minh rằng \(B \cup \left( {A\backslash B} \right) = A \cup B\) và \(B \cap \left( {A\backslash B} \right) = \emptyset \)

c. Chứng minh rằng \(A = \left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A\backslash B} \right)\)

d. Từ đó suy ra công thức sau

\(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|\)

Giải:

a. Hiển nhiên.

b. Dễ thấy bằng cách vẽ sơ đồ Ven.

c. Dễ thấy bằng cách vẽ sơ đồ Ven.

d. Ta có \(\left| {A \cup B} \right| = \left| B \right| + \left| {A\backslash B} \right|,\)  (do câu a và b)      (1)

Lại có \(A = \left( {A\backslash B} \right) \cup \left( {A \cap B} \right)\) (do c)) thành thử

\(\left| A \right| = \left| {A\backslash B} \right| + \left| {A \cap B} \right|\)

Vậy

\(\left| {A\backslash B} \right| = \left| A \right| - \left| {A \cap B} \right|\)              (2)

Thay (2) vào (1) ta được

\(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|\)

Sachbaitap.com