Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 24 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 24 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α là góc giữa BC và AD; β là góc giữa AC và BD; γ là góc giữa AB và CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng \({a^2}\cos \alpha ,{b^2}\cos \beta ,{c^2}\cos \gamma \) có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại.

Trả lời:

 

Ta có:

\(\cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {DA} } \right) = {{2{c^2} - 2{b^2}} \over {2{a^2}}} = {{{c^2} - {b^2}} \over {{a^2}}}\).

Vậy nếu góc giữa BC và AD bằng α thì:

\(\cos \alpha  = {{\left| {{c^2} - {b^2}} \right|} \over {{a^2}}}\) hay \({a^2}\cos \alpha  = \left| {{c^2} - {b^2}} \right|\).

Tương tự như trên, nếu gọi β là góc giữa AC và BD thì:

\({b^2}\cos \beta  = \left| {{a^2} - {c^2}} \right|\)

và γ là góc giữa AB và CD thì

\({c^2}\cos \gamma  = \left| {{b^2} - {a^2}} \right|\).

Với a, b, c lần lượt là dộ dài của BC, CA, AB, không giảm tính tổng quát có thể coi a ≥ b ≥ c. Khi đó:

\(\eqalign{  & {a^2}\cos \alpha  = {b^2} - {c^2}  \cr  & {b^2}\cos \beta  = {a^2} - {c^2}  \cr  & {c^2}\cos \gamma  = {a^2} - {b^2} \cr} \).

Từ đó, trong trường hợp này ta có \({b^2}\cos \beta  = {a^2}\cos \alpha  + {c^2}\cos \gamma \).

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.

Bài viết liên quan