Câu 31 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng:

a)      OC là tia phân giác của góc AOB.

b)      OC vuông góc với AB.

Giải:

a) Kẻ OH ⊥ AM, OK ⊥ BN

Ta có: AM = BN (gt)

Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có:

\(\widehat {OHC} = \widehat {OKC} = 90^\circ \)

         OC chung

         OH = OK (chứng minh trên)

Suy ra:  ∆OCH = ∆OCK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

\(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)

Xét hai tam giác OAH và OBK, ta có:

\(\widehat {OHA} = \widehat {OKB} = 90^\circ \)

          OA = OB

          OH = OK ( chứng minh trên)

Suy ra: ∆OAH = ∆OBK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

\(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\)

Suy ra:  \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}}\) hay \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC}\)

Vậy OC là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\)

b) Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).

Suy ra: OC ⊥ AB.

Sachbaitap.com