Câu 31 trang 242 SBT Đại số 10 Nâng cao

Tìm các giá trị của m để phương trình \({x^4} - 2m{x^2} + {m^2} - 1 = 0\) vô nghiệm.

Giải:

Đặt \(y = {x^2},y \ge 0.\) Khi đó vế trái của phương trình đã cho trở thành \(f\left( y \right) = {y^2} - 2my + {m^2} - 1.\)

Điều kiện của bài toán được thỏa mãn nếu phương trình \(f\left( y \right) = 0\) vô nghiệm hoặc chỉ có hai nghiệm âm.

Cách 1. Do \(\Delta ' = 1\) nên phương trình \(f\left( y \right) = 0\) có hai nghiệm \({y_1} = m - 1\) và \({y_2} = m + 1\). Ta phải có:

\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\m + 1 < 0,\end{array} \right.\)

tức là \(m <  - 1\)

Vậy phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm khi \(m <  - 1\).

Cách 2. Do \(\Delta ' = 1\) nên phương trình \(f\left( y \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm đó âm khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{a} = 2m < 0\\\dfrac{c}{a} = {m^2} - 1 > 0,\end{array} \right.\)

tức là \(m <  - 1\).

 Vậy phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm khi \(m <  - 1\).

Sachbaitap.com