Câu 3.14 trang 60 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :

a. \(m{x^2} + 2x + 1 = 0\)

b. \(2{x^2} - 6x + 3m - 5 = 0\)

c. \(\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + \left( {m - 2} \right) = 0\)

d. \(\left( {{m^2} - 5m - 36} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 1 = 0\)

Giải:

a. Nếu m = 0 thì phương trình có nghiệm \(x=  - \dfrac{1}{2}\).

Nếu m ≠ 0 thì phương trình ∆’ = 1 – m

+ Nếu 1 – m < 0 tức là m > 1 thì phương trình đã cho vô nghiệm.

+ Nếu 1 – m = 0 tức là m = 1 thì phương trình đã cho có một nghiệm kép x = -1.

+ Nếu 1 – m > 0 tức là  m < 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {1 - m} }}{m}\) và \({x_2} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {1 - m} }}{m}\)

Vậy với \(m \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;1} \right)\) thì phương trình có hai nghiệm

\({x_1} = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {1 - m} }}{m}\) và \({x_2} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {1 - m} }}{m}\)

Với m = 0, phương trình có nghiệm \(x =  - \frac{1}{2}\)

Với m = 1, phương trình có nghiệm kép x = -1

Với \(m \in \left( {1; + \infty } \right)\), phương trình vô nghiệm.

b. Phương trình có ∆’ = \(9 - 2\left( {3m - 5} \right) =  - 6m + 19.\)

Với \(m \in \left( {\frac{{19}}{6}; + \infty } \right),\) phương trình vô nghiệm.

Với \(m = \frac{{19}}{6},\) phương trình có nghiệm kép \(x = \frac{3}{2}\)

Với \(m \in \left( { - \infty ;\frac{{19}}{6}} \right),\) phương trình có hai nghiệm

\(x = \frac{{3 - \sqrt {19 - 6m} }}{2}\) và \(x = \frac{{3 + \sqrt {19 - 6m} }}{2}\)

c. Với m = -1, phương trình có nghiệm x = 3.

Với m ≠ -1, phương trình có \(\Delta  = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 8m + 9.\)

Do đó, với \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{9}{8}} \right),\) phương trình vô nghiệm.

Với \(m =  - \frac{9}{8},\) phương trình có một nghiệm kép x = 5.

Với \(m \in \left( { - \frac{9}{8};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right),\) phương trình có hai nghiệm

\(x = \frac{{2m + 1 - \sqrt {8m + 9} }}{{2\left( {m + 1} \right)}}\) và \(x = \frac{{2m + 1 + \sqrt {8m + 9} }}{{2\left( {m + 1} \right)}}\)

d. \({m^2} - 5m - 36 = 0 \Leftrightarrow m =  - 4\) hoặc \(m = 9\)

Với m = -4, phương trình trở thành 0x = 1 nên vô nghiệm.

Với m = 9, phương trình trở thành \(-26x + 1 = 0\) nên có nghiệm \(x = \frac{1}{{26}}.\)

Với \(m \notin \left\{ { - 4;9} \right\},\) ta có

\(\Delta ' = {\left( {m + 4} \right)^2} - \left( {{m^2} - 5m - 36} \right) = 13m + 52.\) Từ đó suy ra :

Với \(m \in \left( { - \infty ; - 4} \right],\) phương trình vô nghiệm.

Với \(m \in \left( { - 4;9} \right) \cup \left( {9; + \infty } \right),\) phương trình có hai nghiệm

\(x = \frac{{m + 4 - \sqrt {13\left( {m + 4} \right)} }}{{{m^2} - 5m - 36}}\) và \(x = \frac{{m + 4 + \sqrt {13\left( {m + 4} \right)} }}{{{m^2} - 5m - 36}}\)

Với m = 9, phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{{26}}.\)

Sachbaitap.com