Câu 3.18 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

a) Dãy số \(({a_n})\) với \({a_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} ;\)

 b) Dãy số \(({b_n})\) với \({b_n} = {{\sqrt {n + 1}  - 1} \over n}.\)

Giải

a) Viết lại công thức xác định \({a_n}\) dưới dạng

\({a_n} = {1 \over {n + \sqrt {{n^2} + 1} }}\)

Suy ra \({a_n} = {1 \over {n + \sqrt {{n^2} + 1} }} > {1 \over {n + 1 + \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} }} = {a_{n + 1}}\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\)

Nghĩa là dãy số \(({a_n})\) là một dãy số giảm.

b)  Viết lại công thức xác định \({b_n}\) dưới dạng

                                    \({b_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + 1}}\)

\({b_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + 1}} > {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1}  + 1}} = {b_{m + 1}}\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)\)

Nghĩa là dãy số \({b_n}\) là một dãy số giảm.

sachbaitap.com