Câu 3.29 trang 186 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {\cos 2x} .{\cos ^2}xdx\)                                           

b) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{e^x}} \over {{e^{2x}} - 1}}} dx\)

c) \(\int\limits_0^1 {{{x + 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}} \ln (x + 1)dx\)                                 

d) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{x\sin x + (x + 1)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}} dx\)

Hướng dẫn làm bài

a) \({1 \over 4}(1 + {\pi  \over 4})\)  . HD: \({{1 + \cos 2x} \over 2} = {\cos ^2}x\)

b) \({1 \over 2}\ln {{(e - 1)(\sqrt e  + 1)} \over {(e + 1)(\sqrt e  - 1)}}\)  . HD:\({{{e^x}} \over {{e^{2x}} - 1}} = {1 \over 2}({{{e^x}} \over {{e^x} - 1}} - {{{e^x}} \over {{e^x} + 1}})\)

c) \({1 \over 2}({\ln ^2}2 - \ln 2 + 1)\) . HD: \({{x + 2} \over {{x^2} + 2x + 1}}\ln (x + 1) = {{\ln (x + 1)} \over {x + 1}} + {{\ln (x + 1)} \over {{{(x + 1)}^2}}}\)

d) \({\pi  \over 4} + \ln (1 + {\pi  \over 4}) - {1 \over 2}\ln 2\) .

HD: \({{x\sin x + (x + 1)\cos x} \over {x\sin x + \cos x}} = 1 + {{x\cos x} \over {x\sin x + \cos x}}\)  và \(d(x\sin x + \cos x) = x\cos xdx\)

Sachbaitap.com