Câu 3.57 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho cấp số nhân \(({u_n})\) có \(8{u_2} - 5\sqrt 5 .{u_5} = 0\) và \(u_1^3 + u_3^3 = 189\). Hãy tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

Giải

Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân đã cho. Dễ thấy,\({u_1}.q \ne 0.\) Do đó, Ta có

\(\left\{ \matrix{
8.{u_2} - 5\sqrt 5 .{u_5} = 0 \hfill \cr
u_1^3 + u_3^3 = 189 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1}.q.(8 - 5\sqrt 5 .{q^3}) = 0 \hfill \cr
u_1^3.(1 + {q^6}) = 189 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
q = {2 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr
{u_1} = 5 \hfill \cr} \right.\)

Từ đó, kí hiệu S là tổng cần tìm, ta được

            \(S = 5 \times {{1 - {{\left( {{2 \over {\sqrt 5 }}} \right)}^{12}}} \over {1 - \left( {{2 \over {\sqrt 5 }}} \right)}} = {{57645 + 23058.\sqrt 5 } \over {3125}}.\)

sachbaitap.com