Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) . Dùng phương pháp vectơ, chứng minh rằng
\({{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}}\)
Trả lời:
Vì ABCD là hình bình hành nên
\(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {S{\rm{D}}} \)
hay \(\overrightarrow {S{\rm{D}}} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} \)
Đặt
\(\eqalign{ & \overrightarrow {SA} = a\overrightarrow {S{A_1}} ,\overrightarrow {SB} = b\overrightarrow {S{B_1}} , \cr & \overrightarrow {SC} = c\overrightarrow {S{C_1}} ,\overrightarrow {S{\rm{D}}} = d\overrightarrow {S{{\rm{D}}_1}} \cr} \)
(với a, b, c, d là các số lớn hơn 1)
Khi đó:
\(\eqalign{ & {{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = a + c \cr & {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}} = b + d \cr} \)
và
\(\eqalign{ & \overrightarrow {S{{\rm{D}}_1}} = {1 \over d}.\overrightarrow {S{\rm{D}}} = {1 \over d}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) \cr & = {1 \over d}\left( {a\overrightarrow {S{A_1}} + c\overrightarrow {S{C_1}} - b\overrightarrow {S{B_1}} } \right) \cr & = {a \over d}.\overrightarrow {S{A_1}} + {c \over d}.\overrightarrow {S{C_1}} - {b \over d}.\overrightarrow {S{B_1}} \cr} \)
Mặt khác các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) thuộc mặt phẳng, nên từ đẳng thức đó suy ra
\({a \over d} + {c \over d} - {b \over d} = 1\)
tức là a + c = b + d
Như vậy \({{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}}\).
Sachbaitap.com
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục