Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 7 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Câu 7 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là các điểm thuộc AD’ và DB sao cho \(\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {M{\rm{D}}'} ,\overrightarrow {N{\rm{D}}}  = k\overrightarrow {NB} \left( {k \ne 0,k \ne 1} \right)\).

a) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp (A’BC).

b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD’ và DB

Trả lời:

 

a) Đặt \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow a ,\,\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow c \).

Khi đó, ta có:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow b .\overrightarrow c  = \overrightarrow c .\overrightarrow a  = 0\).

và \({\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = {\overrightarrow c ^2}\).

Vì \(\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {M{\rm{D}}'} \) nên \(\overrightarrow {MA}  = k\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {A{\rm{D}}'} } \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {AM}  = {k \over {k - 1}}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right).\)

Tương tự như trên, ta có:

\(\overrightarrow {AN}  = {{\overrightarrow {A{\rm{D}}}  - k\overrightarrow {AB} } \over {1 - k}} =  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b  + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c \).

Từ đó: \(\eqalign{  & \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}   \cr  &  = {{1 + k} \over {1 - k}}\overrightarrow c  + {k \over {1 - k}}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right) \cr} \)

hay \(\overrightarrow {MN}  = {{1 + k} \over {1 - k}}\overrightarrow {BC}  + {k \over {1 - k}}\overrightarrow {BA'} \).

Như vậy ba vectơ ­\(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA'} \) đồng phẳng.

Mặt khác AD’, DB cắt mp(A’BCD’); các điểm M, N lần lượt thuộc AD’, DB với k ≠ 0, k ≠ 1 nên MN không thuộc mp(A’BC). Vậy MN song song với mp(A’BC).

b) Ta có \(\overrightarrow {A'C}  =  - \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c \); A’C, AD’ chéo nhau; A’C, BD chéo nhau mà \(M \in A{\rm{D}}',N \in DB\). Do đó, đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow {A'C} \) , tức là

\({k \over {1 - k}}\overrightarrow a  - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b  + {{1 + k} \over {1 - k}}\overrightarrow c  =  - m\overrightarrow a  + m\overrightarrow b  + m\overrightarrow c \)

Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) là ba vectơ không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi bà chỉ khi

\(\left\{ \matrix{  {k \over {1 - k}} =  - m \hfill \cr   - {k \over {1 - k}} = m \hfill \cr  {{1 + k} \over {1 - k}} = m \hfill \cr}  \right.\)

Suy ra \( - k = 1 + k \Leftrightarrow k =  - {1 \over 2}\)

Vậy khi \(k =  - {1 \over 2}\)  thì MN song song với A’C.

Khi đó \(\overrightarrow {MN}  =  - {1 \over 3}\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b  - \overrightarrow c } \right)\)

Mặt khác \(\overrightarrow {A{\rm{D}}'}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow c ,\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c \)

Vậy

\(\eqalign{  & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {A{\rm{D}}'}  =  - {1 \over 3}\left( {{{\overrightarrow a }^2} - {{\overrightarrow c }^2}} \right) = 0  \cr  & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {DB}  =  - {1 \over 3}\left( { - {{\overrightarrow b }^2} + {{\overrightarrow c }^2}} \right) = 0 \cr} \)

Điều này khẳng định MN vuông góc với AD’ và DB.

Sachbaitap.com

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Bài viết liên quan