Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính độ dài MN.
b) Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD.
Trả lời:
Đặt \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \) .
Khi đó, ta có:
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow c .\overrightarrow a = {1 \over 2}{m^2}\) và \({\overrightarrow a ^2} = {\overrightarrow b ^2} = {\overrightarrow c ^2} = {m^2}\)
a) Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên
\(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {A{\rm{D}}} + \overrightarrow {BC} } \right)\)
hay \(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow c - b} \right)\)
Vậy
Tức là \(MN = {{m\sqrt 2 } \over 2}\)
b) Ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow c - \overrightarrow b } \right).\overrightarrow b \cr & = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow b .\overrightarrow c - {{\overrightarrow b }^2}} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {{{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} - {m^2}} \right) = 0 \cr} \)
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và AB bằng 90°
Ta có:
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và CD bằng 90°.
Ta có :
Tức là:
\(\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {1 \over 2}{m^2}\)
Từ đó \(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {{{{{m^2}} \over 2}} \over {m.{{m\sqrt 2 } \over 2}}} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
Vậy góc giữa hai đường thẳng MN và BC bằng 45°.
Sachbaitap.com
>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục