Câu 40 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x₂ của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\), biết nghiệm x₁ = 7

b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0,\) biết nghiệm x₁ = 12,5

c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0,\) biết nghiệm x₁ = -2

d) Phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0,\) biết nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\)

Giải

a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\) có nghiệm x₁ = 7

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} =  - 35 \Rightarrow 7{x_2} =  - 35 \Leftrightarrow {x_2} =  - 5\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = - m \cr
& \Rightarrow - m = 7 + \left( { - 5} \right) \Leftrightarrow - m = 2 \Leftrightarrow m = - 2 \cr} \)

Vậy m = -2 thì phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\) có nghiệm x₁ = 7 và nghiệm x₂ = -5

b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0\) có nghiệm x₁ = 12,5

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} = 13 \Rightarrow 12,5 + {x_2} = 13 \Leftrightarrow {x_2} = 0,5\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = m \Rightarrow m = 12,5.0,5 = 6,25\)

Vậy với m = 6,25 thì phương trình \({x^2} - 13x + m = 0\) có nghiệm x₁ = 12,5 và có nghiệm x₂ = 0,5

c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm x₁ = -2

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} =  - {3 \over 4} \Rightarrow  - 2 + {x_2} =  - {3 \over 4} \Leftrightarrow {x_2} = {5 \over 4}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow 2.{5 \over 4} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4} \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 10 = 0 \cr
& \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr
& \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr
& {m_1} = {{3 + 7} \over {2.1}} = 5 \cr
& {m_2} = {{3 - 7} \over {2.1}} = - 2 \cr} \)

Vậy m = 5 hoặc m = -2 thì phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm x₁ = -2 và nghiệm \({x_2} = {5 \over 4}\)

d) Phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1}{x_2} = {5 \over 3} \Rightarrow {1 \over 3}{x_2} = {5 \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = 5\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m - 3} \right)} \over 3}\)

\( \Rightarrow {1 \over 3} + 5 = {{2\left( {m - 3} \right)} \over 3} \Leftrightarrow 2\left( {m - 3} \right) = 16 \Leftrightarrow m - 3 = 8 \Leftrightarrow m = 11\)

Vậy m = 11 thì phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0\) có nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\) và nghiệm \({x_2} = 5\).

Sachbaitap.com